Dodekaéderszámok

A számelméletben a dodekaéderszámok olyan poliéderszámok, illetve figurális számok, melyek a sűrűn pakolt gömbökből összeálló dodekaéderekben részt vevő gömbök számát reprezentálják. Az n-edik dodekaéderszám ${\displaystyle D_{n}}$ a következő képlettel állítható elő:

${\displaystyle D_{n}={n(3n-1)(3n-2) \over 2}.}$

A dodekaéderszámok egyben a következő alakú binomiális együtthatók:

${\displaystyle D_{n}={3n \choose 3}.}$

Minden harmadik tetraéderszám egyben dodekaéderszám.

Az első néhány dodekaéderszám:

1, 20, 84, 220, 455, 816, 1330, 2024, 2925, 4060, 5456, 7140, 9139, 11480, … (A006566 sorozat az OEIS-ben).

Tulajdonságai, alkalmazásai

A dodekaéderszámok paritása a következő minta szerint váltakozik: páratlan-páros-páros-páros.

A dodekaéderszámok generátorfüggvénye:^[1]

${\displaystyle {\frac {z(10z^{2}+16z+1)}{(z-1)^{4}}}.}$

Sir Frederick Pollock (wd) 1850-es sejtése szerint bármely szám felírható legfeljebb 21 dodekaéderszám összegeként.^[2]

Kapcsolódó szócikkek

• Középpontos dodekaéderszám

Jegyzetek

Kim, Hyun Kwang, On Regular Polytope Numbers, <http://com2mac.postech.ac.kr/papers/2001/01-22.pdf>. Hozzáférés ideje: 2016-07-17 Archiválva 2010. március 7-i dátummal a Wayback Machine-ben