Triplet de Gelfand

En analyse fonctionnelle, le triplet de Gelfand (aussi triplet de Banach-Gelfand ou triade hilbertienne ou rigged Hilbert space^[1]) est un espace-triplet ${\displaystyle (V,H,V^{*})}$ consistant en un espace de Hilbert ${\displaystyle H}$, un espace de Banach (ou plus généralement un espace vectoriel topologique) ${\displaystyle V}$ et son dual topologique ${\displaystyle V^{*}}$. L'espace ${\displaystyle V}$ est choisi tel que ${\displaystyle V}$ soit un sous-espace dense dans ${\displaystyle H}$ et que son inclusion soit continue. Cette construction a l'avantage que les éléments de ${\displaystyle H}$ peuvent être exprimés comme des éléments de l'espace dual ${\displaystyle V^{*}}$ en utilisant le théorème de représentation de Fréchet-Riesz.

Le triplet de Gelfand porte le nom de Israel Gelfand.

Definition

Soit ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H})}$ un espace de Hilbert séparable et ${\displaystyle V\subset H}$ un espace de Banach réflexif et dense dans ${\displaystyle H}$ avec une inclusion ${\displaystyle i_{1}:V\hookrightarrow H}$ continue. Soient ${\displaystyle H^{*}}$ et ${\displaystyle V^{*}}$ les espaces duals correspondants. La séparabilité de ${\displaystyle H}$ garantit l'existence d'un sous-espace dense dans ${\displaystyle H}$.

Il découle de ces propriétés que l'inclusion dense suivante est vérifiée

${\displaystyle V\subset H\subset V^{*},}$

où ${\displaystyle H}$ est identifié à ${\displaystyle H^{*}}$.

Alors pour tout ${\displaystyle h\in H,v\in V}$, on a :

${\displaystyle \langle h,v\rangle _{H}={}_{V^{*}}\langle h,v\rangle _{V},}$

où le côté droit désigne le crochet de dualité.

Le triplet ${\displaystyle (V,H,V^{*})}$ est appelé triplet de Gelfand^[2].

Dérivation de l'inclusion

On peut montrer que ${\displaystyle H^{*}\subset V^{*}}$ est également dense et que l'inclusion ${\displaystyle i_{2}:H^{*}\hookrightarrow V^{*}}$ est continue. Pour un ${\displaystyle \varphi \in H^{*}}$ et ${\displaystyle x\in H}$, on définit la paire duale

${\displaystyle {}_{H^{*}}\langle \varphi ,x\rangle _{H}:=\varphi (x).}$

Pour chaque ${\displaystyle \varphi \in H^{*}}$ il existe une représentation de Riesz unique ${\displaystyle h_{\varphi }\in H}$ telle que

${\displaystyle {}_{H^{*}}\langle \varphi ,x\rangle _{H}=\langle x,h_{\varphi }\rangle _{H}}$

pour tout ${\displaystyle x\in H}$. On peut donc identifier ${\displaystyle H\cong H^{*}}$ et donc l'inclusion suit

${\displaystyle V\subset H\subset V^{*},}$

et l’inclusion ${\displaystyle i_{3}:H\hookrightarrow V^{*}}$ est continue.

Cas général

Dans le cas général, ${\displaystyle V}$ n'est pas un espace de Banach mais seulement un espace vectoriel topologique. Le triplet ${\displaystyle (V,H,V^{*})}$ est aussi appelé triplet de Gelfand et ${\displaystyle H^{*}\subset V^{*}}$ est également dense et l'inclusion ${\displaystyle i_{2}:H^{*}\hookrightarrow V^{*}}$ est continue.

Exemples

• Soient ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ l’espace de Hilbert des fonctions de carré intégrable sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (qui est un cas particulier d’espace L^p), ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ l'espace de Schwartz et ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ l'espace de distributions tempérées. Alors le triplet ${\displaystyle ({\mathcal {S}},L^{2},{\mathcal {S}}')}$ est un triplet de Gelfand.
• Soient ${\displaystyle \ell ^{1},\ell ^{2},\ell ^{\infty }}$les espaces de suites classiques. Alors le triplet ${\displaystyle (\ell ^{1},\ell ^{2},\ell ^{\infty })}$ est un triplet de Gelfand.

Références

• Portail de l'analyse