Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.
En mathématiques, les nombres de Lah, établis par Ivo Lah (en), permettent d’exprimer les factorielles croissantes en fonction des factorielles décroissantes et réciproquement.
Définitions
Les nombres de Lah (signés) L(n, k) (suite A008297 de l'OEIS) sont définis[1],[2],[3] par :
On montre (voir section #Expression directe ci-dessous) que L(n, k) a pour signe (-1)n. De même que pour les nombres de Stirling de première espèce, la notation de Karamata–Knuth désigne la version non signée des nombres de Lah (suite A105278 de l'OEIS) :
,
d’où :
.
Propriétés
Relation inverse
.
Démonstration
.
Formule de récurrence
avec (symbole de Kronecker).
Démonstration
Initialisation
Le produit vide x0 valant 1 pour tout x, on a :
.
Or les factorielles décroissantes constituent une base des polynômes, ce qui permet d’identifier les composantes à gauche et à droite.
Hérédité
Par changement de variable k→k+1, on a , d’où :
.
Or les factorielles décroissantes constituent une base des polynômes, ce qui permet d’identifier les composantes à gauche et à droite.
Expression directe
Pour n>0, .
Démonstration
Le coefficient binomial (lorsque n=k=0) n’étant pas défini, on commence par décaler à n=1 l’initialisation de la formule de récurrence de L :
.
On pose ensuite , d’où :
sachant que , on a :
;
sachant que , on a :
.
f et L ont donc même initialisation et même hérédité, d’où L=f.
Donc L(n, k) a pour signe (-1)n, d’où l’expression de .
Involution
avec δn,k le symbole de Kronecker. La matrice des L(n, k) est donc involutive.
Démonstration
.
Or les factorielles décroissantes constituent une base des polynômes, ce qui permet d’identifier les composantes à gauche et à droite.
Autres propriétés
Les nombres de Lah non signés peuvent s’exprimer en fonction des nombres de Stirling (de première espèce non signés) et (de seconde espèce) :
.
Démonstration
On a et , d’où :
.
Or les factorielles décroissantes constituent une base des polynômes, ce qui permet d’identifier les composantes à gauche et à droite.
Ils peuvent également s’exprimer en fonction des polynômes de Bell :
.
Dérivée de exp(1/x)
Les nombres de Lah permettent d'exprimer[4] la dérivée n-ème de :
Application pratique récente
Ces dernières années, les nombres de Lah ont été utilisés en stéganographie pour cacher des données dans des images. Par rapport aux alternatives telles que la DCT, la DFT et la DWT, elle présente une complexité moindre — — de calcul de leurs coefficients entiers[5],[6]. Les transformées de Lah et de Laguerre apparaissent naturellement dans la description perturbative de la dispersion chromatique[7],[8]. En optique de Lah-Laguerre, une telle approche accélère considérablement les problèmes d'optimisation.
↑(en) S. Daboul, J. Mandalgan, M. Z. Spivey, P. J. Taylor, « The Lah Numbers and the nth Derivative of e1/x », Math. Mag, vol. 86, no 1, , p. 39-47 (DOI10.4169/math.mag.86.1.039)
↑Sudipta Kr Ghosal, Souradeep Mukhopadhyay, Sabbir Hossain et Ram Sarkar, « Application of Lah Transform for Security and Privacy of Data through Information Hiding in Telecommunication », Transactions on Emerging Telecommunications Technologies, vol. 32, no 2, (DOI10.1002/ett.3984, S2CID225866797)
↑« Image Steganography-using-Lah-Transform », sur MathWorks
↑Dimitar Popmintchev, Siyang Wang, Zhang Xiaoshi, Ventzislav Stoev et Tenio Popmintchev, « Analytical Lah-Laguerre optical formalism for perturbative chromatic dispersion », Optics Express, vol. 30, no 22, , p. 40779–40808 (PMID36299007, DOI10.1364/OE.457139, Bibcode2022OExpr..3040779P)
↑(en) Dimitar Popmintchev, Siyang Wang, Zhang Xiaoshi, Ventzislav Stoev et Tenio Popmintchev, « Theory of the Chromatic Dispersion, Revisited », .
Voir aussi
Bibliographie
(en) Ivo Lah, « A new kind of numbers and its application in the actuarial mathematics », Boletim do Instituto dos Actuários Portugueses, Lisbonne, Instituto dos Actuários Portugueses, vol. 9, , p. 7–15 (ISSN0443-4986, résumé).
(de) Ivo Lah, « Eine neue Art von Zahlen, ihre Eigenschaften und Anwendung in der mathematischen Statistik », Mitteilungsblatt für Mathematische Statistik, Wurtzbourg, Physica-Verlag, vol. 7, , p. 203–212 (ISSN0176-5531).
(en) John Riordan, Introduction to Combinatorial Analysis, Dover Publications, (1re éd. 1958), 256 p. (ISBN978-0-486-42536-8, lire en ligne).