Nombre de Carol

En mathématiques récréatives, le n-ième nombre de Carol (où n est un entier strictement positif^[1]) est l'entier

${\displaystyle (2^{n}-1)^{2}-2=4^{n}-2^{n+1}-1.}$

L'amateur qui les étudie, Cletus Emmanuel, leur a donné le nom d'une amie, Carol G. Kirnon^[2].

Propriétés

Les dix premiers nombres de Carol (suite A093112 de l'OEIS) sont

–1, 7, 47, 223, 959, 3 967, 16 127, 65 023, 261 119 et 1 046 527.

Leurs classes de congruence modulo 7 sont

–1, 0, –2, –1, 0, –2, –1, 0, –2, etc.

donc pour tout entier k > 0, le (3k+2)-ième nombre de Carol n'est pas premier.

Le n-ième nombre de Carol est égal à (2²ⁿ – 1) – 2ⁿ⁺¹, ainsi qu'à ((2ⁿ + 1)² – 2) – 2ⁿ⁺².

Sa représentation binaire si n > 2 est, de gauche à droite, (n – 2) uns consécutifs, un zéro au milieu, puis (n + 1) uns consécutifs, puisque

${\displaystyle 2^{2n}-1-2^{n+1}=\sum _{0\leq k\leq 2n-1,~k\neq n+1}2^{k}.}$

Par exemple, le troisième nombre de Carol (47) s'écrit 101111 en binaire et le quatrième (223) s'écrit 11011111.

Nombres de Carol premiers

Les dix plus petits nombres de Carol premiers (suite  A091516) et leurs indices (suite  A091515) sont :

Le plus grand nombre de Carol premier connu est le nombre de Carol d'indice 253 987, qui a 152 916 chiffres. Il a été trouvé par Cletus Emmanuel en 2007^[3] en utilisant les programmes MultiSieve^[4] et PrimeFormGW^[5]. C'est le 40^e nombre de Carol premier.

Notes et références

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
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