Lemme de Zassenhaus

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Diagramme de Hasse du « papillon de Zassenhaus »
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Ne doit pas être confondu avec Théorème du papillon.

En algèbre, le lemme de Zassenhaus, ou lemme du papillon, est un résultat technique sur le treillis des sous-groupes d'un groupe, qui permet de démontrer le lemme de raffinement de Schreier (utile dans le théorème de Jordan-Hölder), selon lequel deux suites de composition d'un groupe donné possèdent toujours un raffinement commun[1].

Lemme — Soient G {\displaystyle G} un groupe, A {\displaystyle A} et C {\displaystyle C} deux sous-groupes de G {\displaystyle G} , B {\displaystyle B} un sous-groupe normal de A {\displaystyle A} , et D {\displaystyle D} un sous-groupe normal de C {\displaystyle C} . Alors B ( A D ) {\displaystyle B(A\cap D)} est normal dans B ( A C {\displaystyle B(A\cap C} ), ( B C ) D {\displaystyle (B\cap C)D} est normal dans ( A C ) D {\displaystyle (A\cap C)D} , et les deux groupes quotients correspondants sont isomorphes. Plus formellement :

( B     A G {\displaystyle (B~\triangleleft ~A\leq G\quad } et D     C G ) B ( A C ) / B ( A D ) ( A C ) D / ( B C ) D . {\displaystyle \quad D~\triangleleft ~C\leq G)\quad \Rightarrow \quad B(A\cap C)/B(A\cap D)\simeq (A\cap C)D/(B\cap C)D.}

Ce lemme fut publié par Hans Zassenhaus en 1934[2].

Notes et références

  1. Pour une démonstration, voir par exemple N. Bourbaki, Algèbre I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, p. I.40-41, ou encore J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 227-228, ou encore Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], 3e édition révisée, Paris, 2004, p. 22-23.
  2. (de) H. Zassenhaus, « Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier », Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, vol. 10, 1934, p. 187-220, DOI 10.1007/BF02940667. Référence donnée par J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 371.
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