Dimension homologique

En algèbre, la dimension homologique d'un anneau R diffère en général de sa dimension de Krull et se définit à partir des résolutions projectives ou injectives des R-modules. On définit également la dimension faible à partir des résolutions plates des R-modules. La dimension de Krull (respectivement homologique, faible) de R peut être vue comme une mesure de l'éloignement de cet anneau par rapport à la classe des anneaux artiniens (resp. semi-simples, réguliers au sens de von Neumann (en)), cette dimension étant nulle si, et seulement si R est artinien (resp. semi-simple, régulier au sens de von Neumann). Dans le cas d'un anneau commutatif noethérien R, ces trois dimensions coïncident si R est régulier, en particulier si sa dimension homologique est finie[1],[2].

Résolutions

  • Soit M {\displaystyle M} un R-module. La suite exacte ⟶ . . . ⟶ E n ⟶ . . . ⟶ E 0 ⟶ M ⟶ 0 {\displaystyle \longrightarrow ...\longrightarrow E_{n}\longrightarrow ...\longrightarrow E_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0} est appelée une résolution gauche de M {\displaystyle M} . Si pour tout i {\displaystyle i} , le module E i {\displaystyle E_{i}} est projectif (respectivement plat, libre), cette résolution est dite projective (resp. plate, libre). Si E n ≠ 0 {\displaystyle E_{n}\neq 0} et E i = 0 {\displaystyle E_{i}=0} pour tout i > n {\displaystyle i>n} , cette résolution est dite de longueur n {\displaystyle n} . S'il n'existe pas de tel entier n {\displaystyle n} , cette résolution est dite de longueur infinie.
  • La suite exacte ⟵ . . . ⟵ E n ⟵ . . . ⟵ E 0 ⟵ M ⟵ 0 {\displaystyle \longleftarrow ...\longleftarrow E^{n}\longleftarrow ...\longleftarrow E^{0}\longleftarrow M\longleftarrow 0} est appelée une résolution droite de M {\displaystyle M} . Si pour tout i {\displaystyle i} , le module E i {\displaystyle E^{i}} est injectif, cette résolution est dite injective. On définit comme plus haut la longueur d'une résolution injective.
  • Tout R-module M {\displaystyle M} admet des résolutions libres, et donc des résolutions projectives et plates. Tout R-module M {\displaystyle M} admet également des résolutions injectives[3].

Dimensions d'un module

  • Dans ce qui suit, Z ¯ = Z ∪ { − ∞ , + ∞ } {\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} }}=\mathbb {Z} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}} et l'on prend pour convention que pour tout n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } , − ∞ < n < + ∞ {\displaystyle -\infty <n<+\infty } , − ∞ + n = − ∞ {\displaystyle -\infty +n=-\infty } et + ∞ + n = + ∞ {\displaystyle +\infty +n=+\infty } .
  • Soit M {\displaystyle M} un R-module à gauche. Sa dimension projective (resp. injective, plate), notée d p R ( M ) {\displaystyle dp_{R}\left(M\right)} (resp. d i R ( M ) , d f R ( M ) {\displaystyle di_{R}\left(M\right),df_{R}\left(M\right)} [4]) est la borne inférieure dans Z ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} }}} des longueurs des résolutions projectives (resp. injectives, plates) de M {\displaystyle M} .
  • On a d p R ( 0 ) = d i R ( 0 ) = d f R ( 0 ) = − ∞ {\displaystyle dp_{R}\left(0\right)=di_{R}\left(0\right)=df_{R}\left(0\right)=-\infty } .
  • Pour que M {\displaystyle M} soit projectif (resp. injectif, plat) il faut et il suffit que d p R ( M ) ≤ 0 {\displaystyle dp_{R}\left(M\right)\leq 0} (resp. d i R ( M ) ≤ 0 , d f R ( M ) ≤ 0 {\displaystyle di_{R}\left(M\right)\leq 0,df_{R}\left(M\right)\leq 0} ).

Dimensions d'un anneau

Nous ne revenons pas ici sur la dimension de Krull.

Dimension homologique

  • Soit R M o d {\displaystyle _{R}Mod} la catégorie des R-modules à gauche. Les quantités suivantes sont égales[5] :
  1. sup { d p R ( M ) : M ∈ R M o d } {\displaystyle \sup \left\{dp_{R}\left(M\right):M\in _{R}Mod\right\}}
  2. sup { d i R ( M ) : M ∈ R M o d } {\displaystyle \sup \left\{di_{R}\left(M\right):M\in _{R}Mod\right\}}
  • Leur valeur commune est appelée la dimension globale à gauche de R et est notée dans ce qui suit d g g ( R ) {\displaystyle dgg(R)} . Cette quantité est la borne supérieure dans Z ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} }}} des quantités n {\displaystyle n} pour lesquelles il existe deux R-modules à gauche M {\displaystyle M} et N {\displaystyle N} tels que E x t R n ( M , N ) ≠ 0 {\displaystyle Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)\neq 0} (voir l'article Foncteur dérivé)[6].

On définit de même la dimension globale à droite de R, notée dans ce qui suit d g d ( R ) {\displaystyle dgd(R)} .

  • Lorsque d g g ( R ) {\displaystyle dgg(R)} = d g d ( R ) {\displaystyle dgd(R)} (c'est évidemment le cas lorsque R est commutatif), leur valeur commune est appelée la dimension globale de R et est notée d g ( R ) {\displaystyle dg(R)} [7].
  • La notion de dimension globale s'étend au cas d'une catégorie abélienne quelconque C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} de sorte que, si C = R M o d {\displaystyle {\mathfrak {C=}}_{R}Mod} (resp. C = M o d R {\displaystyle {\mathfrak {C=}}Mod_{R}} ), cette dimension d g ( C ) {\displaystyle dg\left({\mathfrak {C}}\right)} coïncide avec la quantité d g g ( R ) {\displaystyle dgg(R)} (resp. d g d ( R ) {\displaystyle dgd(R)} ) définie plus haut[8].

Dimension faible

Les quantités suivantes sont égales[9] :

  1. sup { d f R ( M ) : M ∈ R M o d } , {\displaystyle \sup \left\{df_{R}\left(M\right):M\in _{R}Mod\right\},}
  2. sup { d f R ( M ) : M ∈ M o d R } . {\displaystyle \sup \left\{df_{R}\left(M\right):M\in Mod_{R}\right\}.}

Leur valeur commune est appelée la dimension globale faible de R, notée d g f ( R ) {\displaystyle dgf(R)} dans ce qui suit[10]. Cette quantité est la borne supérieure dans Z ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} }}} des quantités n {\displaystyle n} pour lesquelles il existe un R-module à droite M {\displaystyle M} et un module à gauche N {\displaystyle N} tels que T o r n R ( M , N ) ≠ 0 {\displaystyle Tor_{n}^{R}\left(M,N\right)\neq 0} (voir l'article Foncteur dérivé).

Propriétés

  • On a d g ( 0 ) = d g f ( 0 ) = − ∞ {\displaystyle dg(0)=dgf(0)=-\infty } .
  • On a d g f ( R ) ≤ d g g ( R ) {\displaystyle dgf\left(R\right)\leq dgg\left(R\right)} avec égalité si R est noethérien à gauche.
  • Si R est noethérien, on a d g f ( R ) = d g g ( R ) = d g d ( R ) = d g ( R ) {\displaystyle dgf(R)=dgg(R)=dgd(R)=dg(R)} .
  • Soit A {\displaystyle A} un anneau commutatif ; alors d g ( A [ X ] ) = d g ( A ) + 1 {\displaystyle dg(A\left[X\right])=dg(A)+1} (théorème des syzygies de Hilbert). Par conséquent, si K {\displaystyle K} est un corps commutatif (ou, plus généralement, un anneau commutatif semi-simple), d g ( K [ X 1 , . . . , X n ] ) = n {\displaystyle dg(K\left[X_{1},...,X_{n}\right])=n} [11].
  • Soit R un anneau commutatif, S ⊂ R {\displaystyle S\subset R} un ensemble multiplicatif ne contenant pas de diviseurs de zéro et T {\displaystyle T} le localisé S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} . On a d g ( T ) ≤ d g ( R ) {\displaystyle dg(T)\leq dg(R)} et d g f ( T ) ≤ d g f ( R ) {\displaystyle dgf(T)\leq dgf(R)} [12].
  • Un anneau d'Ore R est un anneau de Dedekind qui n'est pas un corps si, et seulement si d g ( R ) = 1. {\displaystyle dg(R)=1.} [5]
  • Un anneau commutatif intègre R est un anneau de Prüfer (en) si, et seulement si d g f ( R ) ≤ 1 {\displaystyle dgf(R)\leq 1} [13].
  • Un anneau de Bézout commutatif R qui n'est pas principal est un anneau de Prüfer[14], et vérifie donc d g f ( R ) ≤ 1 {\displaystyle dgf(R)\leq 1} . En revanche, il n'est pas noethérien, donc n'est pas un anneau de Dedekind, et par suite d g ( R ) > 1 {\displaystyle dg(R)>1} .

Anneaux réguliers

  • Un anneau R est dit régulier à gauche si tout R-module à gauche de type fini admet une résolution finie. On définit de même un anneau régulier à droite, et un anneau est dit régulier[15] s'il est régulier à gauche et à droite[16],[17].
  • Si d g g ( R ) < + ∞ {\displaystyle dgg(R)<+\infty } , R est évidemment régulier à gauche, mais Nagata a donné en 1962 l'exemple d'un anneau commutatif régulier noethérien de dimension globale infinie[18].
  • Si R est un anneau commutatif régulier, alors tout localisé T = S − 1 R {\displaystyle T=S^{-1}R} de R est régulier. Si R est régulier et noethérien, alors il en va de même de R [ X 1 , . . . , X n ] {\displaystyle R\left[X_{1},...,X_{n}\right]} [19].
  • Soit R un anneau de Bézout à gauche. Tout R-module à gauche de type fini est de présentation finie, donc R est régulier à gauche[20].

Notes et références

Notes

  1. ↑ McConnell et Robson 2001, 7.1.9 ; Lam 1999, (5.94), (5.95).
  2. ↑ La dimension de Goldie, également appelée dimension uniforme, qui a une signification tout à fait différente, n'est pas traitée ici. Voir par exemple McConnell et Robson 2001, §2.2.
  3. ↑ Rotman 2009, Prop. 6.2 et 6.4.
  4. ↑ Le f {\displaystyle f} de d f R {\displaystyle df_{R}} peut être la première lettre du mot anglais flat ou du mot français faible.
  5. ↑ a et b McConnell et Robson 2001, 7.1.8.
  6. ↑ C'est ce que Bourbaki 2007 (§8.3), qui ne considère que des modules à gauche, appelle la dimension homologique de l'anneau R, et note d h ( R ) {\displaystyle dh(R)} . Il ne définit pas la dimension homologique faible.
  7. ↑ McConnell et Robson 2001, 7.1.11. Notation anglaise: l g l d ( R ) {\displaystyle lgld(R)} pour la dimension globale à gauche, r g l d ( R ) {\displaystyle rgld(R)} pour la dimension globale à droite, g l d ( R ) {\displaystyle gld(R)} pour la dimension globale.
  8. ↑ Mitchell 1965. Il n'est pas nécessaire de supposer que C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} ait « suffisamment de projectifs » ou « suffisamment d'injectifs ».
  9. ↑ McConnell et Robson 2001, §7.1.
  10. ↑ Notation anglaise : w g l d ( R ) {\displaystyle wgld(R)} .
  11. ↑ Bourbaki 2007, §8, Thm. 1.
  12. ↑ McConnell et Robson 2001, §7.4. Résultat semblable dans le cas non commutatif en introduisant la notion d'ensemble dénominateur.
  13. ↑ Rotman 2009, Example 8.20.
  14. ↑ Rotman 2009, §4.4.
  15. ↑ À ne pas confondre avec un anneau de von Neumann régulier.
  16. ↑ McConnell et Robson 2001, 7.7.1.
  17. ↑ Lam 1999, p. 201, exige, avec d'autres auteurs, que, de plus, R soit noethérien à gauche.
  18. ↑ Lam 1999, (5.94) ; Nagata 1962, Appendix.
  19. ↑ McConnell et Robson 2001, 7.7.3, 7.7.5. Des extensions au cas non commutatif des propriétés énoncées ici sont données dans ces références.
  20. ↑ Ceci n'est bien sûr exact que si l'on n'exige pas la propriété noethérienne dans la définition de la régularité.

Références

  • N. Bourbaki, Algèbre, Chapitre 10 : Algèbre homologique, Springer, , 216 p. (ISBN 978-3-540-34492-6 et 3-540-34492-6)
  • N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitres 1 à 4, Springer, , 356 p. (ISBN 3-540-33937-X)
  • (en) Paul Moritz Cohn, Free Rings and their Relations (2nd ed.), London/Orlando/San Diego etc., Academic Press Press, , 588 p. (ISBN 0-12-179152-1)
  • (en) Tsit Yuen Lam, Lectures on Modules and Rings, New York/Berlin/Heidelberg, Springer, , 557 p. (ISBN 0-387-98428-3)
  • (en) John C. McConnell et James C. Robson, Noncommutative Noetherian Rings, American Mathematical Society, , 636 p. (ISBN 0-8218-2169-5, lire en ligne)
  • (en) Masayoshi Nagata, Local Rings, Interscience, , 234 p. (ISBN 0-470-62865-0)
  • (en) Barry Mitchell, Theory of Categories, New York/London, Academic Press, , 273 p. (ISBN 0-12-499250-1)
  • (en) Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, Springer, , 2e éd., 710 p. (ISBN 978-0-387-24527-0 et 0-387-24527-8)
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