Verrannollisuus

Verrannollisuus on matematiikassa ja luonnontieteissä kahden suureen välinen erityinen riippuvuus, jossa kussakin tilanteessa suureiden saamien arvojen suhde pysyy vakiona. Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista yhtälöllä. Olkoon suureet A ja B verrannolliset, jolloin niiden arvojen suhde on aina k. Silloin voidaan kirjoittaa

${\displaystyle A:B={\frac {A}{B}}=k.}$

Tällöin sanotaan, että "suure A on verrannollinen suureeseen B" ja se voidaan lyhentää joko ${\displaystyle A\sim B}$ tai ${\displaystyle A\propto B}$.^[1][2]

Edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa myös tulomuodossa

${\displaystyle A=kB.}$

Jos suureet A ja B ovat samanlaatuiset eli niillä on samat mittayksiköt, on kerroin k luku ja sitä kutsutaan suhdeluvuksi. On kuitenkin varsin yleistä, että suureet A ja B ovat erilaatuiset, jolloin kerroin k on itsekin suure ja sillä on mittayksikkö. Tällöin suuretta k kutsutaan myös verrannollisuuskertoimeksi.^[1][2]

Verrannolliset suureet, verrannollisuuskerroin ja verranto

Kahden samanlaatuisen (samat mittayksiköt) suureen A ja B suhde merkitään ^[3]

${\displaystyle A:B={\frac {A}{B}}=k.}$

Suhde esittää kahta eri tilannetta, jossa verrataan samaa laautua olevia suureita keskenään. Tällainen tilanne on esimerkiksi kahden pinta-alan välinen suhde

${\displaystyle 3m^{2}:6m^{2}=1:2}$

ja kerroin k = 1 : 2 = 0,5 on tällöin paljas luku, koska mittayksiköt supistuvat pois.^[3]

Kahden erilaatuisen (eri mittayksiköt) suureiden A ja B suhde merkitään samalla tavalla

${\displaystyle A:B={\frac {A}{B}}=k,}$

missä kerroin k on mittayksiköllinen suure. Esimerkiksi talon yhden ${\displaystyle A=3m^{2}}$ suuruisen seinän maalaamiseen kuluu ${\displaystyle B=0,25l}$ maalia. Verrannollisuuskertoimeksi saadaan

${\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {3m^{2}}{0,25l}}=12{\tfrac {m^{2}}{l}}=k.}$

Saman talon toista seinää toisena päivänä maalatessa suureet C ja D ovat erilaiset. Nyt merkitään

${\displaystyle {\frac {C}{D}}={\frac {6m^{2}}{0,50l}}=12{\tfrac {m^{2}}{l}}=k,}$

missä k on edelleen sama, koska maalin kulutus on säilynyt samana. Suhdeluvut ovat samat, joten suureet A ja B sekä C ja D ovat verrannolliset ja tämä merkitään suuren mitatuilla arvoilla

${\displaystyle 3m^{2}\sim 0,25l}$ ja ${\displaystyle 6m^{2}\sim 0,5l}$

tai suureiden muuttujilla

${\displaystyle A\sim B}$ ja ${\displaystyle C\sim D}$

tai suureiden nimillä

${\displaystyle {\mbox{pinta-ala}}\sim {\mbox{maalin määrä}}.}$

Matemaattisesti nämä kaksi suhdetta (maalaustilannetta) voidaan kirjoittaa verrantoyhtälöksi, koska verrannollisuuskertoimet täsmäävät ^[1][2]

${\displaystyle {\frac {A}{B}}=k\land {\frac {C}{D}}=k\Rightarrow {\frac {A}{B}}={\frac {C}{D}}.}$

Suoraan verrannollisuus

Suoraan verrannollisuus on toinen nimitys suureiden A ja B verrannollisuudelle, jotka ovat suoraan sellaisinaan toisilleen verrannollisia. Tämä merkitään edelliseen tapaan ${\displaystyle A\sim B}$ ja verrannollisuuskertoimen sisältävä yhtälö kirjoitetaan ${\displaystyle A=kB.}$ ^[4]

Toisilleen suoraan verrannolliset suureet ovat esimerkiksi omenien paino m ja niiden hinta h. Silloin verrannollisuuskerroin k on esimerkiksi ${\displaystyle k=2,15{\tfrac {E}{kg}}}$ eli kilohinta ja ostoksen hinta laksetaan yhtälöstä ${\displaystyle h=km}$.

Kääntäen verrannollisuus

Suureet A ja B ovat kääntäen verrannollisia, jos suureen A käänteisarvo (käänteisluku) on verrannollinen suureeseen B, tai päin vastoin. Tämä merkitään joko ${\displaystyle {\frac {1}{A}}\sim B}$ tai ${\displaystyle A\sim {\frac {1}{B}}}$ (potenssina ${\displaystyle A\sim B^{-1}}$), ja yhtälö kirjoitetaan joko ${\displaystyle A=k{\frac {1}{B}}}$ (potenssina ${\displaystyle A=kB^{-1}}$) tai ${\displaystyle AB=k.}$^[5]

Toisilleen kääntäen verrannollisia suureita ovat esimerkiksi samaan automatkaan liittyvät keskinopeus v ja ajoaika t. Silloin nopeuden kasvaessa aika lyhyenee ja päinvastoin. Tämä kirjoitetaan ${\displaystyle v\sim t^{-1}}$. Verrannollisuuskerroin k on silloin ${\displaystyle k=100km}$ (kilometriä) eli kuljettava matka, kun ${\displaystyle v={\tfrac {k}{t}}}$.

Neliöön ja kuutioon verrannollisuus

Neliöön verrannolliset suureet voidaan merkitä ${\displaystyle A\sim B^{2}}$, jolloin suureet A ja B eivät ole suoraan verrannolliset mutta suureet A ja B² ovat sitä. Näistä muodostettu yhtälö on (suureen positiiviset arvot)

${\displaystyle A=kB^{2}}$

joka voidaan muuntaa

${\displaystyle {\sqrt {A}}={\sqrt {kB^{2}}}}$ eli ${\displaystyle {\sqrt {A}}=bB,}$

missä b² = k. Neliöön verrannollisuus on (lähes) sama kuin neliöjuureen verrannollisuus ${\displaystyle {\sqrt {A}}\sim B.}$

Esimerkiksi paikaltaan lähtevän ja tasaisesti kiidyttävän junan liike-energia E on neliöön verrannollinen junan loppunopeuteen v. Verrannollisuuskerroin k on junan massan puolikas, kuten yhtälöstä ${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}mv^{2}=kv^{2}}$ huomataan.

Kuutioon verrannolliset suureet voidaan merkitä ${\displaystyle A\sim B^{3}}$, jolloin suureet A ja B³ ovat suoraan verrannolliset. Näistä muodostettu yhtälö

${\displaystyle A=kB^{3}}$

voidaan muuntaa

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{A}}=bB}$

missä b³ = k. Kuutioon verrannollisuus on sama kuin kuutiojuureen verrannollisuus ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{A}}\sim B.}$

Esimerkiksi kalastajatroolarin moottorin tehontarve P on kuutioon verrannollinen veneen saavuttamaan huippunopeuteen v. Verrannollisuuskerroin k on esimerkiksi ${\displaystyle k=270{\tfrac {kg}{m}}}$, kun riippuvuus kirjoitetaan yhtälönä ${\displaystyle P=kv^{3}}$.

Potenssiin verrannollisuus

Yleisesti ilmaistuna suureet A ja B ovat potenssiin verrannolliset, kun ${\displaystyle A^{n}\sim B^{m}}$ eli ${\displaystyle A^{\tfrac {n}{m}}\sim B}$ eli ${\displaystyle A\sim B^{\tfrac {m}{n}}}$.

Esimerkiksi ympyräradalla Aurinkoa kiertävä planeetta noudattaa Keplerin III lakia. Sen mukaan kiertoajan T neliö on verrannollinen ratasäteen R kuutioon eli ${\displaystyle T^{2}\sim R^{3}}$. Silloin Maan kiertoradan yhtälössä verrannollisuuskerroin k on ${\displaystyle k=1{\tfrac {a^{2}}{AU^{3}}}}$ ja ${\displaystyle T^{2}=kR^{3}}$.

Katso myös

• Korrelaatio ja lineaarinen regressioanalyysi ovat myös luonnontieteellisisiä mallinnusvälineitä.
• Verranto

Lähteet