Prothin alkuluku

Lukuteoriassa Prothin luku on muotoa ${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$ oleva alkuluku, missä ${\displaystyle k}$ on pariton, ${\displaystyle n}$ positiivinen kokonaisluku ja ${\displaystyle 2^{n}>k}$. Fermat'n lukujen tekijät ovat Prothin lukuja mikäli ${\displaystyle k}$ on pariton ja ${\displaystyle k<2^{n}}$.

Prothin alkuluvut toteuttavat Prothin lauseen, jonka mukaan annettu luku muotoa ${\displaystyle N=k\cdot 2^{n}+1}$, missä ${\displaystyle k}$ on pariton, ${\displaystyle n}$ positiivinen kokonaisluku ja ${\displaystyle 2^{n}>k}$ on alkuluku jos ja vain jos on olemassa kokonaisluku ${\displaystyle a}$, jolle ${\displaystyle a^{\frac {N-1}{2}}\equiv -1{\pmod {N}}}$. Tämä lause tarjoaa nopean tavan testata lukuja Prothin alkuluvuiksi.

Esimerkkejä

• Jos p = 3, 2¹ + 1 = 3 on jaollinen luvulla 3, joten 3 on alkuluku.
• Jos p = 5, 3² + 1 = 10 on jaollinen luvulla 5, joten 5 on alkuluku.
• Jos p = 13, 5⁶ + 1 = 15626 on jaollinen luvulla 13, joten 13 on alkuluku.
• Jos p = 9 (joka ei ole alkuluku), ei ole olemassa sellaista lukua a, niin että a⁴ + 1 on jaollinen luvulla 9.

Muutama ensimmäinen Prothin alkuluku A080076 OEIS-tietokannassa:

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153

Suurin tunnettu Prothin alkuluku on Seventeen or Bust -projektin löytämä 19249 · 2^13018586 + 1. Siinä on 3918990 numeroa ja se on suurin tunnettu alkuluku joka ei ole Mersennen alkuluku.^[1]

Lähteet