Pisteen P isogonaalinen konjugaatti P* . Isogonaalinen konjugaatti X − 1 {\displaystyle \scriptstyle X^{-1}} on tason piste kolmiossa olevalle pisteelle X {\displaystyle \scriptstyle X} , joka voidaan muodostaa peilaamalla kolmion kolmion kulmanjakajat kulmissa olevien kulmanpuolittajien suhteen. Silloin peilatut janat leikkaavat toisensa isogonaalisessa pisteessä X − 1 {\displaystyle \scriptstyle X^{-1}} .[1] Peilattuja janoja voidaan kutsua isogonaalisiksi janoiksi. Pisteelle on käytössä myös merkinnät X ∗ {\displaystyle \scriptstyle X^{*}} ja X ′ {\displaystyle \scriptstyle X'} .[2] [3] [4] [5]
Sijainti kolmiossa
Trilineaariset koordinaatit Isogonaalisten pisteiden trilineaariset koordinaatit ovat toistensa käänteislukuja. Jos merkitään pisteen koordinaatit
P = x : y : z {\displaystyle P=x:y:z} , ovat tämän isogonaalisen konjugaatin koordinaatit
P − 1 = x − 1 : y − 1 : z − 1 {\displaystyle P^{-1}=x^{-1}:y^{-1}:z^{-1}} .[6] Tästä on merkinnän negatiivinen yläindeksi peräisin.[7] Toisaalta myös
( P − 1 ) − 1 = ( x − 1 ) − 1 : ( y − 1 ) − 1 : ( z − 1 ) − 1 = x : y : z = P {\displaystyle (P^{-1})^{-1}=(x^{-1})^{-1}:(y^{-1})^{-1}:(z^{-1})^{-1}=x:y:z=P} , jolloin trilineaaristen koordinaattien perusteella voidaan ajatella pisteiden P {\displaystyle \scriptstyle P} ja P − 1 {\displaystyle \scriptstyle P^{-1}} olevan toistensa isogonaalisia pisteitä .
Barysentriset koordinaatit Isogonaalisten pisteiden barysentriset koordinaatit saadaan vastaavasti, kun on
P = x : y : z {\displaystyle P=x:y:z} ja isogonaaliset koordinaatit ovat
P − 1 = a 2 y z : b 2 x z : c 2 x y {\displaystyle P^{-1}=a^{2}yz:b^{2}xz:c^{2}xy} , missä a , b j a c {\displaystyle a,\,b\,ja\,c} ovat kolmion sivujen pituuksia.[8]
Esimerkkejä Seuraavat esimerkit merkillisistä pisteistä ovat toistensa isogonaalisia konjugaatteeja :[7]
kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste ( I = X 1 {\displaystyle \scriptstyle I=X_{1}} ) itsensä kanssa ( X 1 {\displaystyle \scriptstyle X_{1}} ) kolmion ympäri piiretyn ympyrän keskipiste ( O = X 3 {\displaystyle \scriptstyle O=X_{3}} ) ja ortokeskus ( H = X 4 {\displaystyle \scriptstyle H=X_{4}} ) symmediaaninen piste ( K = X 6 {\displaystyle \scriptstyle K=X_{6}} ) ja kolmion painopiste ( G = X 2 {\displaystyle \scriptstyle G=X_{2}} ) Gergonnen piste ( G e = X 7 {\displaystyle \scriptstyle Ge=X_{7}} ) ja piste X 55 {\displaystyle \scriptstyle X_{55}} ensimmäinen Napoleonin piste ( N 1 = X 17 {\displaystyle \scriptstyle N_{1}=X_{17}} ) ja piste X 61 {\displaystyle \scriptstyle X_{61}} toinen Napoleonin piste ( N 2 = X 18 {\displaystyle \scriptstyle N_{2}=X_{18}} ) ja piste X 62 {\displaystyle \scriptstyle X_{62}} Nagelin piste ( N a = X 8 {\displaystyle \scriptstyle Na=X_{8}} ) ja piste X 56 {\displaystyle \scriptstyle X_{56}} ensimmäinen Fermat'n piste ( F 1 = X 13 {\displaystyle \scriptstyle F_{1}=X_{13}} ) ja ensimmäinen isodynaaminen piste ( X 15 {\displaystyle \scriptstyle X_{15}} )
Todistus Todistetaan isogonaalisen konjugaatin P − 1 {\displaystyle \scriptstyle P^{-1}} olemassaolo jokaiselle kolmion sisäpisteelle P {\displaystyle \scriptstyle P} , joka on kolmen kulmanjakajan AA' , BB' ja CC' leikkauspisteessä. Isogonaaliset janat merkitään AA" , BB" ja CC" . Lausekkeet seuraavat oheisen kuvan merkintöjä, jossa suunnattujen janojen positiivinen suunta on vastapäivään eli A → B → C → A . Koska P {\displaystyle \scriptstyle P} on janojen leikkauspiste, seuraa Cevan lauseesta [9]
A C ′ C ′ B ⋅ B A ′ A ′ C ⋅ C B ′ B ′ A = 1. {\displaystyle {\frac {AC'}{C'B}}\cdot {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}=1.}
Janat sinilausekkeiksi Sinilauseen avulla voidaan kolmiosta △ A C ′ C {\displaystyle \scriptstyle \triangle AC\,'C} kirjoittaa Cevan lauseen ensimmäisen osamäärän osoittaja (janat positiivisesti suunnattuina)
A C ′ sin ∡ A C C ′ = C A sin ∡ C C ′ A ⇔ A C ′ = C A sin ∡ A C C ′ sin ∡ C C ′ A {\displaystyle {\frac {AC'}{\sin \measuredangle ACC'}}={\frac {CA}{\sin \measuredangle CC'A}}\Leftrightarrow AC'={\frac {CA\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle CC'A}}} ja kolmiosta △ C ′ B C {\displaystyle \scriptstyle \triangle C\,'BC} ensimmäisen osamäärän nimittäjä
C ′ B sin ∡ C ′ C B = B C sin ∡ B C ′ C ⇔ C ′ B = B C sin ∡ C ′ C B sin ∡ B C ′ C . {\displaystyle {\frac {C'B}{\sin \measuredangle C'CB}}={\frac {BC}{\sin \measuredangle BC'C}}\Leftrightarrow C'B={\frac {BC\sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle BC'C}}.} Koska kulmat ∡ C C ′ A {\displaystyle \scriptstyle \measuredangle CC'A} ja ∡ B C ′ C {\displaystyle \scriptstyle \measuredangle BC'C} ovat vieruskulmia (supplementtikulmat), joiden sinit ovat aina identtiset eli sin ∡ C C ′ A = sin ∡ B C ′ C {\displaystyle \scriptstyle \sin \measuredangle CC'A=\sin \measuredangle BC'C} , saadaan Cevan lauseen ensimmäisestä osamäärästä
A C ′ C ′ B = C A sin ∡ A C C ′ sin ∡ C C ′ A B C sin ∡ C ′ C B sin ∡ B C ′ C = C A sin ∡ A C C ′ sin ∡ C C ′ A B C sin ∡ C ′ C B sin ∡ B C ′ C = C A sin ∡ A C C ′ B C sin ∡ C ′ C B . {\displaystyle {\frac {AC'}{C'B}}={\frac {\frac {CA\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle CC'A}}{\frac {BC\sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle BC'C}}}={\frac {\frac {CA\sin \measuredangle ACC'}{\cancel {\sin \measuredangle CC'A}}}{\frac {BC\sin \measuredangle C'CB}{\cancel {\sin \measuredangle BC'C}}}}={\frac {CA\sin \measuredangle ACC'}{BC\sin \measuredangle C'CB}}.} Vastaavalla tavalla sievennetään kaksi muutakin Cevan lauseen osamäärää
B A ′ A ′ C = A B sin ∡ B A A ′ C A sin ∡ A ′ A C {\displaystyle {\frac {BA'}{A'C}}={\frac {AB\sin \measuredangle BAA'}{CA\sin \measuredangle A'AC}}} ja
C B ′ B ′ A = B C sin ∡ C B B ′ A B sin ∡ B ′ B A {\displaystyle {\frac {CB'}{B'A}}={\frac {BC\sin \measuredangle CBB'}{AB\sin \measuredangle B'BA}}} ja sijoitetaan tulokset Cevan lauseeseen ja supistetaan
A C ′ C ′ B ⋅ B A ′ A ′ C ⋅ C B ′ B ′ A = 1 ⇔ C A sin ∡ A C C ′ B C sin ∡ C ′ C B ⋅ A B sin ∡ B A A ′ C A sin ∡ A ′ A C ⋅ B C sin ∡ C B B ′ A B sin ∡ B ′ B A = 1 ⇔ {\displaystyle {\frac {AC'}{C'B}}\cdot {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}=1\Leftrightarrow {\frac {{\cancel {CA}}\sin \measuredangle ACC'}{{\cancel {BC}}\sin \measuredangle C'CB}}\cdot {\frac {{\cancel {AB}}\sin \measuredangle BAA'}{{\cancel {CA}}\sin \measuredangle A'AC}}\cdot {\frac {{\cancel {BC}}\sin \measuredangle CBB'}{{\cancel {AB}}\sin \measuredangle B'BA}}=1\Leftrightarrow } eli
sin ∡ A C C ′ sin ∡ C ′ C B ⋅ sin ∡ B A A ′ sin ∡ A ′ A C ⋅ sin ∡ C B B ′ sin ∡ B ′ B A = 1. {\displaystyle {\frac {\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle C'CB}}\cdot {\frac {\sin \measuredangle BAA'}{\sin \measuredangle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \measuredangle CBB'}{\sin \measuredangle B'BA}}=1.}
Sinilausekkeet isogonaalisiksi janoiksi Jotta janat AA" , BB" ja CC" leikkaisivat isogonaalisessa pisteessä P − 1 {\displaystyle \scriptstyle P^{-1}} , tulisi Cevan lauseen ehdot toteutua
A C ″ C ″ B ⋅ B A ″ A ″ C ⋅ C B ″ B ″ A = 1. {\displaystyle {\frac {AC''}{C''B}}\cdot {\frac {BA''}{A''C}}\cdot {\frac {CB''}{B''A}}=1.} Muodostetaan aluksi ensimmäisen osamäärän osoittaja ja nimittäjä, jotka sievennetään edelliseen tapaan. Sinilauseesta seuraa
A C ″ sin ∡ A C C ″ = C A sin ∡ C C ″ A ⇔ A C ″ = C A sin ∡ A C C ″ sin ∡ C C ″ A {\displaystyle {\frac {AC''}{\sin \measuredangle ACC''}}={\frac {CA}{\sin \measuredangle CC''A}}\Leftrightarrow AC''={\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{\sin \measuredangle CC''A}}} ja
C ″ B = B C sin ∡ C ″ C B sin ∡ B C ″ C . {\displaystyle C''B={\frac {BC\sin \measuredangle C''CB}{\sin \measuredangle BC''C}}.} Nyt voidaan ensimmäinen osamäärä muodostaa ja supistaa
A C ″ C ″ B = C A sin ∡ A C C ″ sin ∡ C C ″ A B C sin ∡ C ″ C B sin ∡ B C ″ C = C A sin ∡ A C C ″ sin ∡ C C ″ A B C sin ∡ C ″ C B sin ∡ B C ″ C = C A sin ∡ A C C ″ B C sin ∡ C ″ C B . {\displaystyle {\frac {AC''}{C''B}}={\frac {\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{\sin \measuredangle CC''A}}{\frac {BC\sin \measuredangle C''CB}{\sin \measuredangle BC''C}}}={\frac {\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{\cancel {\sin \measuredangle CC''A}}}{\frac {BC\sin \measuredangle C''CB}{\cancel {\sin \measuredangle BC''C}}}}={\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{BC\sin \measuredangle C''CB}}.} Lauseke muodostuu analogisesti samanmuotoiseksi kuin alussakin. Isogonisilla janoilla on samansuuruisia kulmia, kuten esimerkiksi ∡ A C C ′ = ∡ C ″ C B {\displaystyle \scriptstyle \measuredangle ACC'=\measuredangle C''CB} ja ∡ C ′ C B = ∡ A C C ″ , {\displaystyle \scriptstyle \measuredangle C'CB=\measuredangle ACC'',} jolloin
A C ″ C ″ B = C A sin ∡ A C C ″ B C sin ∡ C ″ C B ⇔ A C ″ ⋅ B C C ″ B ⋅ C A = sin ∡ A C C ″ sin ∡ C ″ C B ⇔ A C ″ ⋅ B C C ″ B ⋅ C A = sin ∡ C ′ C B sin ∡ A C C ′ . {\displaystyle {\frac {AC''}{C''B}}={\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{BC\sin \measuredangle C''CB}}\Leftrightarrow {\frac {AC''\cdot BC}{C''B\cdot CA}}={\frac {\sin \measuredangle ACC''}{\sin \measuredangle C''CB}}\Leftrightarrow {\frac {AC''\cdot BC}{C''B\cdot CA}}={\frac {\sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle ACC'}}.} Kun tätä verrataan Cevan lauseen yhtälöön (1), huomataan samat kulmat sen ensimmäisessä osamäärässä. Kannattaa siis muodostaa muutkin osamäärät, vaihtaa kulmat ( ∡ B A A ′ = ∡ A ″ A C {\displaystyle \scriptstyle \measuredangle BAA'=\measuredangle A''AC} ja ∡ A ′ A C = ∡ B A A ″ {\displaystyle \scriptstyle \measuredangle A'AC=\measuredangle BAA''} sekä ∡ C B B ′ = ∡ B ″ B A {\displaystyle \scriptstyle \measuredangle CBB'=\measuredangle B''BA} ja ∡ B ′ B A = ∡ C B B ″ {\displaystyle \scriptstyle \measuredangle B'BA=\measuredangle CBB''} ) ja sijoittaa yhtälöön janoja esittävät lausekkeet, jolloin tulos saadaan supistamalla. Muut osamäärät ja kulmanvaihdot saadaan analogisesti:
B A ″ A ″ C = A B sin ∡ B A A ″ A C sin ∡ A ″ A C ⇔ B A ″ ⋅ C A A ″ C ⋅ A B = sin ∡ A ′ A C sin ∡ B A A ′ . {\displaystyle {\frac {BA''}{A''C}}={\frac {AB\sin \measuredangle BAA''}{AC\sin \measuredangle A''AC}}\Leftrightarrow {\frac {BA''\cdot CA}{A''C\cdot AB}}={\frac {\sin \measuredangle A'AC}{\sin \measuredangle BAA'}}.} ja
C B ″ B ″ A = B C sin ∡ C B B ″ A B sin ∡ B ″ B A ⇔ C B ″ ⋅ A B B ″ A ⋅ B C = sin ∡ B ′ B A sin ∡ C B B ′ . {\displaystyle {\frac {CB''}{B''A}}={\frac {BC\sin \measuredangle CBB''}{AB\sin \measuredangle B''BA}}\Leftrightarrow {\frac {CB''\cdot AB}{B''A\cdot BC}}={\frac {\sin \measuredangle B'BA}{\sin \measuredangle CBB'}}.}
Sijoitus Cevan yhtälöön sin ∡ A C C ′ sin ∡ C ′ C B ⋅ sin ∡ B A A ′ sin ∡ A ′ A C ⋅ sin ∡ C B B ′ sin ∡ B ′ B A = 1 ⇔ C ″ B ⋅ C A A C ″ ⋅ B C ⋅ A ″ C ⋅ A B B A ″ ⋅ C A ⋅ B ″ A ⋅ B C C B ″ ⋅ A B = 1 ⇔ {\displaystyle {\frac {\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle C'CB}}\cdot {\frac {\sin \measuredangle BAA'}{\sin \measuredangle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \measuredangle CBB'}{\sin \measuredangle B'BA}}=1\Leftrightarrow {\frac {C''B\cdot CA}{AC''\cdot BC}}\cdot {\frac {A''C\cdot AB}{BA''\cdot CA}}\cdot {\frac {B''A\cdot BC}{CB''\cdot AB}}=1\Leftrightarrow } C ″ B ⋅ C A A C ″ ⋅ B C ⋅ A ″ C ⋅ A B B A ″ ⋅ C A ⋅ B ″ A ⋅ B C C B ″ ⋅ A B = 1 ⇔ C ″ B A C ″ ⋅ A ″ C B A ″ ⋅ B ″ A C B ″ = 1 {\displaystyle {\frac {C''B\cdot {\cancel {CA}}}{AC''\cdot {\cancel {BC}}}}\cdot {\frac {A''C\cdot {\cancel {AB}}}{BA''\cdot {\cancel {CA}}}}\cdot {\frac {B''A\cdot {\cancel {BC}}}{CB''\cdot {\cancel {AB}}}}=1\Leftrightarrow {\frac {C''B}{AC''}}\cdot {\frac {A''C}{BA''}}\cdot {\frac {B''A}{CB''}}=1} Tämän käänteisluku on vaadittu Cevan lauseen ehto kollineaarisuudelle ja isogonaalisen konjugaatin olemassaololle:
A C ″ C ″ B ⋅ B A ″ A ″ C ⋅ C B ″ B ″ A = 1. {\displaystyle {\frac {AC''}{C''B}}\cdot {\frac {BA''}{A''C}}\cdot {\frac {CB''}{B''A}}=1.}
Lähteet Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6. (englanniksi)
Viitteet ↑ Barrow, D. F.: A Theorem about Isogonal Conjugates.. The American Mathematical Monthly , 1913, 20. vsk, nro 8, s. 251–253. Mathematical Association of America. ISSN 00029890. Artikkelin verkkoversio (pdf) . Viitattu 15.5.2013. (englanniksi) ↑ Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut . 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi) ↑ Weisstein, Eric W.: Cevian (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi) ↑ Weisstein, Eric W.: Cevian Point (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi) ↑ Weisstein, Eric W.: Isogonal Line (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi) ↑ Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. ↑ a b Weisstein, Eric W.: Isogonal Conjugate (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi) ↑ Dean, Keith & van Lamoen, Floor: Geometric Construction of Reciprocal Conjugations. Forum Geometricorum , 2001, 1. vsk, s. 115–120. Florida, USA: Florida Atlantic University. ISSN 1534-1178. Artikkelin verkkoversio (pdf) . Viitattu 15.5.2013. (englanniksi) ↑ Cherowitzo, Bill: Kurssi m3210 – Advanced Euclidean Geometry (Arkistoitu – Internet Archive)
Aiheesta muualla http://zacharyabel.com/papers/Tri-Centers_A07_MOSP.pdf Ballew, Pat: Isogons and Isogonic Symmetry (Arkistoitu – Internet Archive) Royster, David C.: MA 341 – Topics in Geometry Lecture 16, University of Kentucky http://zacharyabel.com/papers/Mean-Geo_A07.pdf http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200812.pdf http://blog.zacharyabel.com/category/geometry/