Minkowskiren desberdintza

Analisi matematikoan, Minkowskiren desberdintzak, Hermann Minkowskik formulatua, L^p espazioak bektore-norma bat duten bektore-espazioak direla ezartzen du. Bira S espazio neurgarri bat, 1 ≤ p ≤ ∞ eta f eta g L^p(S)-ko elementuak. Orduan, f + g ere L^p(S)-koa da, eta honako hau betetzen da:

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$

berdintza 1 < p < ∞ kasuan da, baldin eta soilik f eta g guztiz linealki mendekoak badira, ${\displaystyle \lambda }$ ≥ 0 baten baterako f = ${\displaystyle \lambda }$ g edo g = ${\displaystyle \lambda }$ f dela esan nahi duena.

Minkowskiren desberdintza L^p(S)-ko desberdintza triangeluarra da.

Hölderen desberdintza bezala, Minkowskiren desberdintza segida eta bektoretarako ere zehatz daiteke honela:

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}$

Zenbaki erreal (edo zenbaki konplexu) x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n guztietarako, non n S-ren kardinala den (S-ren elementuen kopurua).

Frogapena

Lehenik, frogatuko dugu f+g baturak p-norma finitua duela, baldin f eta g biek badute, hori ondorengotik segitzen da,

${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p})}$

Alabaina, hor erabiltzen da ${\displaystyle h(x)=x^{p}}$ funtzio ganbila izatea ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ multzoan (${\displaystyle p}$ > 1 bada) eta horregatik, a eta b positiboak badira, orduan,

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{2}}b\right)^{p}\leq {\frac {1}{2}}a^{p}+{\frac {1}{2}}b^{p}}$

Beraz,

${\displaystyle (a+b)^{p}\leq 2^{p-1}a^{p}+2^{p-1}b^{p}}$

Orain, ${\displaystyle (\|f+g\|_{p})}$ adierazpenaz hitz egin daiteke. Zero bada, Minkowskiren desberdintza betetzen da. Orain, demagun ${\displaystyle (\|f+g\|_{p})}$ ez dela zero. Hölderen desberdintza erabiliz

${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu }$

${\displaystyle \leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }$

${\displaystyle =\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }$

${\displaystyle {\stackrel {{\text{H}}{\ddot {\text{o}}}{\text{lder}}}{\leq }}\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}}$

${\displaystyle =(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}}$

Minkowskiren desberdintza lortzen da bi aldeak bider ${\displaystyle {\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}}$ egitean.

Kanpo estekak

• Datuak: Q755092