Teorema de Gelfond-Schneider

En matemática, el teorema de Gelfond-Schneider es un resultado que establece la trascendencia de una gran clase de números. Fue probado originalmente por Alexander Gelfond en 1934 y de nuevo de forma independiente por Theodor Schneider, en 1935. El teorema Gelfond–Schneider es una respuesta parcial al séptimo problema de Hilbert.

Enunciado

Si ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$ son números algebraicos en el cuerpo de los números complejos (siendo ${\displaystyle \alpha \neq 0,1}$), y si ${\displaystyle \beta }$ no es un número racional, entonces cualquier valor de α^β es un número trascendente.

Comentarios

• En general, ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\exp\{\beta \log \alpha \}}$ es multivaluada, donde "log" es el logaritmo complejo. Ésta es la razón de la expresión "cualquier valor de" en el enunciado.
• La siguiente es una formulación equivalente del teorema: si ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \gamma }$ son números algebraicos diferentes de cero, y ${\displaystyle \alpha \neq 1}$, entonces ${\displaystyle (\log \gamma )/(\log \alpha )}$ es (real) racional o trascendente.
• Si se elimina la restricción de que ${\displaystyle \beta }$ sea algebraica, el enunciado no será cierto en el caso general (escójanse ${\displaystyle \alpha =3}$ y ${\displaystyle \beta =\log 2/\log 3}$, que es trascendente, y ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=2}$, que es algebraico). No se conoce una caracterización de los valores de α y β que produzca un α^β trascendente.

Uso del teorema

Se deriva inmediatamente del teorema la trascendencia de los siguientes números:

• ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ (la constante de Gelfond-Schneider) y ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ (véase demostración no constructiva).
• ${\displaystyle e^{\pi }}$ (constante de Gelfond), dado que ${\displaystyle e^{\pi }=e^{\ln(-1)-i}}$ es uno de los valores de ${\displaystyle (-1)^{-i}}$.

Véase también

• Teorema de Lindemann–Weierstrass
• Conjetura de Schanuel; si se demostrase, implicaría tanto el teorema de Gelfond-Schneider como el de Lindemann-Weierstrass

Referencias

• Irrational Numbers, de Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956