Modelo Tobit

El modelo Tobit es un modelo estadístico propuesto por James Tobin (1958) para describir la relación entre una variable dependiente no negativa ${\displaystyle y_{i}}$ y una variable independiente (o vector ) ${\displaystyle x_{i}}$. El término Tobit fue derivado del nombre truncando de Tobin y añadiendo, por analogía, el it como en el modelo probit o en el modelo logit.^[1]​

El modelo supone que existe una variable latente (no observable por ejemplo) ${\displaystyle y_{i}^{*}}$. Esta variable depende linealmente de ${\displaystyle x_{i}}$ a través de un parámetro(vector) ${\displaystyle \beta }$ que determina la relación entre la variable independiente (o vector) ${\displaystyle x_{i}}$ y la variable latente ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ (Tal como en un modelo lineal). Además, hay un término de error ${\displaystyle u_{i}}$ con una distribución normal para captar las influencias aleatorias en esta relación. La variable observable ${\displaystyle y_{i}}$ se define como igual a la variable latente cuando la variable latente es superior a cero y cero en caso contrario.

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{i}^{*}\leq 0\end{cases}}}$

donde ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ es una variable latente:

${\displaystyle y_{i}^{*}=\beta x_{i}+u_{i},u_{i}\sim N(0,\sigma ^{2})\,}$

La consistencia

Si el parámetro de relación ${\displaystyle \beta }$ se estima mediante una regresión de lo observado ${\displaystyle y_{i}}$ en ${\displaystyle x_{i}}$, el resultado obtenido usando el estimador de mínimos cuadrados ordinarios es inconsistente. Esto dará lugar a una estimación a la baja de polarización del coeficiente de la pendiente hacia arriba y una estimación sesgada de la intersección. Takeshi Amemiya (1973) ha demostrado que el estimador de máxima verosimilitud propuesto por Tobin para este modelo es consistente.

Interpretación

La ${\displaystyle \beta }$ del coeficiente no debe interpretarse como el efecto de los ${\displaystyle x_{i}}$ en ${\displaystyle y_{i}}$, como uno haría con un modelo de regresión lineal , lo que es un error común. En su lugar, debe interpretarse como la combinación de (1) el cambio en ${\displaystyle y_{i}}$ de aquellos por encima del límite, ponderados por la probabilidad de estar por encima del límite, y (2) el cambio en la probabilidad de estar por encima del límite, ponderado por el valor esperado de ${\displaystyle y_{i}}$ si es superior.^[2]​

Variaciones del modelo Tobit

Las variaciones del modelo Tobit pueden ser producidas mediante el cambio de dónde y cuándo se produce la censura. Amemiya (1985) clasifica estas variaciones en cinco categorías (Tobit tipo I - Tobit tipo V), donde Tobit tipo I representa el primer modelo descrito anteriormente. Schnedler (2005) proporciona una fórmula general para obtener estimadores consistentes de probabilidad para estas y otras variaciones del modelo Tobit.

Tipo I

El modelo Tobit es un caso especial de un modelo de regresión censurada , ya que la variable latente ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ no puede siempre ser observada mientras que la variable independiente ${\displaystyle x_{i}}$ es observable. Una variante común del modelo Tobit está censurando a un valor ${\displaystyle y_{L}}$ diferente de cero:

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{i}^{*}>y_{L}\\y_{L}&{\textrm {si}}\;y_{i}^{*}\leq y_{L}.\end{cases}}}$

Otro ejemplo es la censura de los valores anteriores ${\displaystyle y_{U}}$.

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{i}^{*}<y_{U}\\y_{U}&{\textrm {si}}\;y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}$

Sin embargo, otro modelo resulta cuando ${\displaystyle y_{i}}$ se censura desde arriba y abajo al mismo tiempo.

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{L}<y_{i}^{*}<y_{U}\\y_{L}&{\textrm {si}}\;y_{i}^{*}\leq y_{L}\\y_{U}&{\textrm {si}}\;y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}$

El resto de los modelos se presenta como estando limitada desde abajo a 0, aunque esto se puede generalizar como lo hemos hecho en Tipo I.

Tipo II

Tipo II modelos Tobit introducir una variable latente segundo.

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

Heckman (1987) cae en el tipo II Tobit. En el tipo Tobit I, la variable latente absorbe tanto el proceso de participación y los "resultados" de interés. En el Tipo Tobit II permite que el proceso de participación / selección y el proceso de "resultado" sean independientes, condicionado a x.

Tipo III

Tipo III introduce una segunda variable dependiente observada

${\displaystyle y_{1i}={\begin{cases}y_{1i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

El modelo Heckman cae en este tipo.

Tipo IV

Tipo IV introduce tercera variable observada dependiente y una variable latente tercero.

${\displaystyle y_{1i}={\begin{cases}y_{1i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{3i}={\begin{cases}y_{3i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

Tipo V

Semejante al II, Tipo V, solo observar el signo de ${\displaystyle y_{1i}^{*}}$.

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{3i}={\begin{cases}y_{3i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

La función de verosimilitud

A continuación se presentan la Función de verosimilitud y las funciones de registro de probabilidad para un tipo que Tobit. Este es un Tobit censurado desde abajo en ${\displaystyle y_{L}}$ cuando la variable latente ${\displaystyle y_{j}^{*}\leq y_{L}}$. Al escribir la función de verosimilitud, primero definimos una función indicadora ${\displaystyle I(y_{j})}$ donde:

${\displaystyle I(y_{j})={\begin{cases}0&{\textrm {si}}\;y_{j}=y_{L}\\1&{\textrm {si}}\;y_{j}\neq y_{L}.\end{cases}}}$

A continuación, nos referimos ${\displaystyle \Phi }$ a ser el normal estándar función de distribución acumulativa y ${\displaystyle \phi }$ a ser el normal estándar función de densidad de probabilidad . Para un conjunto de datos con n observaciones de la función de verosimilitud para un tipo que Tobit es:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\beta ,\sigma )=\prod _{j=1}^{N}\left({\frac {1}{\sigma }}\phi \left({\frac {Y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)^{I\left(y_{j}\right)}\left(1-\Phi \left({\frac {X_{j}\beta -y_{L}}{\sigma }}\right)\right)^{1-I\left(y_{j}\right)}}$

y la probabilidad de registro está dada por

${\displaystyle \log {\mathcal {L}}(\beta ,\sigma )=\sum _{j=1}^{n}I(y_{j})\log \left({\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)+(1-I(y_{j}))\log \left(1-\Phi \left({\frac {X_{j}\beta -y_{L}}{\sigma }}\right)\right)}$

Tenga en cuenta que esto es diferente de la función de verosimilitud del modelo de regresión truncada.^[3]​

Versión no paramétrica

Si la variable subyacente latente ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ no se distribuye normalmente, se deben usar cuantiles en lugar de momentos para analizar la variable observable ${\displaystyle y_{i}}$. El estimador CLAD de Powell ofrece una forma posible de lograr esto.^[4]​

Referencias

Bibliografía adicional

• Amemiya, Takeshi (1973). «Regression analysis when the dependent variable is truncated normal». Econometrica 41 (6): 997-1016. JSTOR 1914031. doi:10.2307/1914031. 
• Amemiya, Takeshi (1984). «Tobit models: A survey». Journal of Econometrics 24 (1–2): 3-61. doi:10.1016/0304-4076(84)90074-5. 
• Amemiya, Takeshi (1985). Advanced Econometrics. Oxford: Basil Blackwell. ISBN 0-631-13345-3. 
• Schnedler, Wendelin (2005). «Likelihood estimation for censored random vectors». Econometric Reviews 24 (2): 195-217. doi:10.1081/ETC-200067925. 
• Tobin, James (1958). «Estimation of relationships for limited dependent variables». Econometrica 26 (1): 24-36. JSTOR 1907382. doi:10.2307/1907382.