In der Mathematik dienen symmetrische Algebren zur Definition von Polynomen über beliebigen Vektorräumen. Sie spielen eine wichtige Rolle etwa in der Theorie der Lie-Gruppen und in der Theorie der charakteristischen Klassen.
Es sei
ein Vektorraum über einem Körper
. Weiter sei
![{\displaystyle T^{k}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{k{\text{-mal}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cfebc15cdd6d9041af33f77d175d525bdd17699)
das
-fache Tensorprodukt von
mit den Konventionen
und
. Die direkte Summe
![{\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}(V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/365131d7b3de15b9dffe3b16a9164e88fccdc944)
ist die Tensoralgebra von
.
Das zweiseitige, homogene Ideal
sei erzeugt durch Differenzen von Elementartensoren mit „vertauschter Reihenfolge“:
.
Die symmetrische Algebra ist dann definiert als der Quotientenraum
.
Die
-te symmetrische Potenz von
ist definiert als das Bild von
in
, sie wird mit
bezeichnet. Man hat eine Zerlegung
.
Das Produkt in der symmetrischen Algebra wird traditionell als
geschrieben.
Analog kann man die symmetrische Algebra von Moduln über kommutativen Ringen definieren.
Beispiele
Für
ist
isomorph zum Polynomring
.
Allgemein kann man die Elemente von
als Polynome in den Elementen einer fest gewählten
-Basis von
interpretieren.
Speziell für
, den Vektorraum der
-Matrizen über
, kann man die Elemente von
als Polynome in den Einträgen der Matrizen interpretieren:
.
Polynome über Vektorräumen
Homogene Polynome vom Grad
über einem
-Vektorraum
sind – per Definition – die Elemente aus
, wobei
den Dualraum bezeichnet. Diese Polynome sind lineare Abbildungen
![{\displaystyle P:\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{k{\text{-mal}}}\rightarrow \mathbb {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d253e8dcbbaf1a27ae5fc97a7e5db34e94b71ad)
welche unter der Wirkung der symmetrischen Gruppe
invariant sind. (Man beachte, dass ein solches Polynom durch seine Werte
für alle
bereits eindeutig festgelegt wird.)
Das Produkt
![{\displaystyle S^{k}(V^{*})\otimes S^{l}(V^{*})\rightarrow S^{k+l}(V^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a179cf8733e1a7c93ead1c640104762c8e54d9d8)
ist definiert durch
.
Siehe auch
Literatur
- Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer, Berlin-New York 1978. ISBN 3-540-08663-3