Jordan-Chevalley-Zerlegung

Die Jordan-Chevalley-Zerlegung (gelegentlich auch Dunford-Zerlegung) ist wichtig für das Studium von Lie-Algebren und algebraischen Gruppen. Benannt ist sie nach Marie Ennemond Camille Jordan und Claude Chevalley.

Unter der (additiven) Jordan-Chevalley-Zerlegung eines Endomorphismus ${\displaystyle x\colon V\rightarrow V}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums ${\displaystyle V}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper versteht man die Summe ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$, worin ${\displaystyle x_{s}}$ ein halbeinfacher (also diagonalisierbarer) und ${\displaystyle x_{n}}$ ein nilpotenter Endomorphismus sind, die miteinander kommutieren, das heißt ${\displaystyle x_{s}x_{n}=x_{n}x_{s}}$.

Ist allgemeiner ${\displaystyle L}$ eine halbeinfache Lie-Algebra (mit Lie-Klammer ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0 und ${\displaystyle x\in L}$, so bezeichnet man ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ als (additive abstrakte) Jordan-Chevalley-Zerlegung, falls gilt: Der Endomorphismus ${\displaystyle {\rm {ad}}(x_{s})}$ ist halbeinfach, der Endomorphismus ${\displaystyle {\rm {ad}}(x_{n})}$ ist nilpotent, und es gilt ${\displaystyle [x_{s},x_{n}]=0}$. Darin wird für jedes ${\displaystyle y\in L}$ die Abbildung ${\displaystyle {\rm {ad}}(y)}$ folgendermaßen definiert:

${\displaystyle {\rm {ad}}(y):L\rightarrow L\ ,\ z\mapsto [y,z]}$,

welches ein Endomorphismus von ${\displaystyle L}$ ist.

Die Jordan-Chevalley-Zerlegung existiert in den oben angegebenen Fällen und ist eindeutig. Zudem stimmen beide Definitionen im Fall ${\displaystyle L={\rm {End}}(V)}$, versehen mit der Lie-Klammer ${\displaystyle [f,g]:=fg-gf}$, überein.

Die multiplikative Zerlegung stellt einen invertierbaren Operator als Produkt seiner kommutierenden halbeinfachen und unipotenten Anteile dar. Diese erhält man leicht aus der oben angegebenen additiven Zerlegung:

${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}=x_{s}\cdot (1+x_{s}^{-1}x_{n})}$.

Man beachte, dass ${\displaystyle x_{s}}$ invertierbar ist, denn ${\displaystyle x}$ kann als invertierbarer Endomorphismus nicht den Eigenwert 0 haben, und dass ${\displaystyle x_{s}^{-1}x_{n}}$ wegen der Vertauschbarkeit der Faktoren ebenfalls nilpotent und ${\displaystyle 1+x_{s}^{-1}x_{n}}$ damit unipotent ist.

• Jordansche Normalform

• Serge Lang, Algebra (3 ed), Addison-Wesley, 1993, ISBN 0-201-55540-9. Chap.XIV.2, p.559.

• Jordan-Chevalley-Zerlegung und Cartan-Kriterium (PDF-Datei; 178 kB), Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022