Carol-Zahl

In der Zahlentheorie ist eine Carol-Zahl eine ganze Zahl der Form ${\displaystyle (2^{n}-1)^{2}-2}$ oder, gleichbedeutend, eine Zahl der Form ${\displaystyle 4^{n}-2^{n+1}-1}$ mit ${\displaystyle n\geq 1}$. Zahlen dieser Form wurden erstmals untersucht von Cletus Emmanuel, der sie nach einer Freundin, Carol G. Kimon, benannt hat.^[1][2]

• Die ersten Carol-Zahlen sind die folgenden:

−1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, 4190207, 16769023, 67092479, 268402687, 1073676287, 4294836223, 17179607039, 68718952447, 274876858367, 1099509530623, 4398042316799, 17592177655807, 70368727400447, 281474943156223, 1125899839733759, … (Folge A093112 in OEIS)

• Die ersten primen Carol-Zahlen sind die folgenden:

7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087, … (Folge A091516 in OEIS)

Man nennt sie Carol-Primzahlen.

• Die siebente Carol-Zahl ${\displaystyle 16127}$ ist gleichzeitig die fünfte Carol-Primzahl und ist auch eine Primzahl, wenn man ihre Stellen umdreht (also ${\displaystyle 72161}$).

Solche Zahlen nennt man Carol-Mirpzahlen.

Man kennt momentan nur zwei Carol-Mirpzahlen:

16127, 16769023

• Die größte bekannte Carol-Primzahl ist ${\displaystyle (2^{695631}-1)^{2}-2}$ und hat ${\displaystyle 418812}$ Stellen.^[3] Sie wurde von Mark Rodenkirch am 16. Juli 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die 44. Carol-Primzahl.^[4]

• Jede Carol-Zahl der Form ${\displaystyle (2^{n}-1)^{2}-2}$ mit ${\displaystyle n>2}$ hat eine binäre Darstellung, welche ${\displaystyle 2n}$ Stellen lang ist, mit ${\displaystyle n-2}$ Einsern beginnt, eine einzelne Null in der Mitte hat und mit weiteren ${\displaystyle n+1}$ Einsern endet. Mit anderen Worten:

${\displaystyle (2^{n}-1)^{2}-2=\sum _{i=1 \atop i\not =n+2}^{2n}2^{i-1}}$

Beispiel:

${\displaystyle 223=(2^{4}-1)^{2}-2={\underline {1}}\cdot 2^{7}+{\underline {1}}\cdot 2^{6}+{\underline {0}}\cdot 2^{5}+{\underline {1}}\cdot 2^{4}+{\underline {1}}\cdot 2^{3}+{\underline {1}}\cdot 2^{2}+{\underline {1}}\cdot 2^{1}+{\underline {1}}\cdot 2^{0}=11011111_{2}}$

• Die Differenz zwischen der ${\displaystyle 2n}$-ten Mersenne-Zahl (also ${\displaystyle 2^{2n}-1}$) und der ${\displaystyle n}$-ten Carol-Zahl beträgt ${\displaystyle 2^{n+1}}$.

Somit könnte man die Carol-Zahlen anders definieren, nämlich als ${\displaystyle (2^{2n}-1)-2^{n+1}}$.

• Die Differenz zwischen der ${\displaystyle n}$-ten Kynea-Zahl ${\displaystyle (2^{n}+1)^{2}-2}$ und der ${\displaystyle n}$-ten Carol-Zahl beträgt ${\displaystyle 2^{n+2}}$.
• Wenn man mit der Carol-Zahl 7 zählen beginnt, ist jede dritte Carol-Zahl ein Vielfaches von ${\displaystyle 7}$.

Beispiel:

${\displaystyle 65023=(2^{8}-1)^{2}-2}$ ist die sechste Carol-Zahl nach ${\displaystyle 7}$ und tatsächlich ist ${\displaystyle 65023=9289\cdot 7}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle 7}$.

• Eine Carol-Zahl ${\displaystyle (2^{n}-1)^{2}-2}$ mit ${\displaystyle n=3k+2}$ für ${\displaystyle k>0}$ kann keine Primzahl sein.

(folgt aus der Eigenschaft direkt darüber)

Eine verallgemeinerte Carol-Zahl zur Basis b ist eine Zahl der Form ${\displaystyle (b^{n}-1)^{2}-2}$ mit ${\displaystyle n\geq 1}$ und einer Basis ${\displaystyle b\geq 2}$.

• Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis ${\displaystyle b\geq 4}$ kann nur dann eine Primzahl sein, wenn ${\displaystyle b}$ eine gerade Zahl ist.

(Wenn ${\displaystyle b}$ eine ungerade Zahl wäre, wäre auch jede Potenz ${\displaystyle b^{n}}$ ungerade. Zieht man ${\displaystyle 1}$ ab, ist die Zahl gerade. Das Quadrat dieser Zahl ist ebenfalls gerade und zieht man ${\displaystyle 2}$ ab, ist sie noch immer gerade und somit sicher nicht prim (für ${\displaystyle b\geq 4}$). Damit ist diese und die nächste Eigenschaft bewiesen.)

• Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit einer ungeraden Basis ${\displaystyle b}$ ist immer eine gerade Zahl.
• Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis ${\displaystyle b^{n}}$ ist auch eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis ${\displaystyle b}$.
• Die kleinsten ${\displaystyle n\geq 1}$, sodass ${\displaystyle ((2k)^{n}-1)^{2}-2}$ prim ist (Basis ${\displaystyle b=2k}$), sind die folgenden (für ${\displaystyle k=1,2,3,4,\ldots ,100}$):

2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 159, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 12, 1, 1, 2, 9, 1, 88, 2, 1, 1, 12, 4, 1, 1, 183, 1, 1, 320, 24, 4, 3, 2, 1, 3, 1, 5, 2, 4, 2, 1, 2, 1, 705, 2, 3, 29, 1, 1, 1, 4836, 20, 1, 135, 1, 4, 1, 6, 1, 15, 3912, 1, 2, 8, 3, 24, 1, 14, 4, 1, 2, 321, 11, 1, 174, 1, 6, 1, 42, 310, 1, 2, 27, 2, 1, 29, 3, 103, 20, …

Beispiel:

Für ${\displaystyle n=6}$ kann man der obigen Liste an der 6. Stelle die Zahl ${\displaystyle n=3}$ entnehmen.

Tatsächlich ist ${\displaystyle ((2\cdot 3)^{6}-1)^{2}-2=2176689023\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten verallgemeinerten Carol-Primzahlen mit Basis ${\displaystyle b}$ entnehmen kann:^[5]

${\displaystyle b}$	Form	Potenzen ${\displaystyle n\geq 1}$, sodass verallgemeinerte Carol-Zahlen mit Basis ${\displaystyle b}$, also der Form ${\displaystyle (b^{n}-1)^{2}-2}$ prim sind	OEIS-Folge
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle (2^{n}-1)^{2}-2}$	2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129, 132, 159, 171, 175, 315, 324, 358, 393, 435, 786, 1459, 1707, 2923, 6462, 14289, 39012, 51637, 100224, 108127, 110953, 175749, 185580, 226749, 248949, 253987, 520363, 653490, 688042, 695631, …	(Folge A091515 in OEIS)
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle (3^{n}-1)^{2}-2}$	1 (führt zur geraden Primzahl ${\displaystyle p=2}$; mehr Potenzen ${\displaystyle n}$ existieren nicht)
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle (4^{n}-1)^{2}-2}$	1, 2, 3, 5, 6, 9, 66, 162, 179, 393, 3231, 19506, 50112, 92790, 326745, 344021, …
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle (6^{n}-1)^{2}-2}$	1, 2, 6, 7, 20, 47, 255, 274, 279, 308, 1162, 2128, 3791, 9028, 9629, 10029, 13202, 38660, 46631, 48257, 117991, …	(Folge A100901 in OEIS)
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle (8^{n}-1)^{2}-2}$	1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 43, 44, 53, 57, 105, 108, 131, 145, 262, 569, 2154, 4763, 13004, 33408, 58583, 61860, 75583, 82983, 217830, 231877, …
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle (10^{n}-1)^{2}-2}$	1, 8, 21, 123, 4299, 6128, 11760, 18884, 40293, …	(Folge A0100903 in OEIS)
${\displaystyle 12}$	${\displaystyle (12^{n}-1)^{2}-2}$	3, 29, 51, 7824, 15456, 22614, 28312, 47014, 68835, …
${\displaystyle 14}$	${\displaystyle (14^{n}-1)^{2}-2}$	1, 6, 13, 45, 74, 240, 553, 12348, 13659, 50603, …	(Folge A0100905 in OEIS)
${\displaystyle 16}$	${\displaystyle (16^{n}-1)^{2}-2}$	1, 3, 33, 81, 9753, 25056, 46395, …
${\displaystyle 18}$	${\displaystyle (18^{n}-1)^{2}-2}$	2, 8, 30, 98, 110, 185, 912, 2514, 4074, 10208, 15123, 19395, 69354, …
${\displaystyle 20}$	${\displaystyle (20^{n}-1)^{2}-2}$	1, 2, 53, 183, 1281, 1300, 8041, 29936, 72820, …
${\displaystyle 22}$	${\displaystyle (22^{n}-1)^{2}-2}$	1, 8, 35, 88, 503, 8643, 8743, 14475, 92539, …	(Folge A0100907 in OEIS)
${\displaystyle 24}$	${\displaystyle (24^{n}-1)^{2}-2}$	2, 27, 92, 4950, 20047, 46309, 55716, …
${\displaystyle 26}$	${\displaystyle (26^{n}-1)^{2}-2}$	159, 879, 4744, 5602, 74387, …
${\displaystyle 28}$	${\displaystyle (28^{n}-1)^{2}-2}$	1, 22, 127, 165, 2520, 6492, 6577, 22960, 25528, …
${\displaystyle 30}$	${\displaystyle (30^{n}-1)^{2}-2}$	1, 6, 19, 30, 166, 495, 769, 826, 1648, 3993, …
${\displaystyle 32}$	${\displaystyle (32^{n}-1)^{2}-2}$	2, 3, 5, 11, 35, 63, 87, 37116, 130698, …
${\displaystyle 34}$	${\displaystyle (34^{n}-1)^{2}-2}$	1, 4, 258, …
${\displaystyle 36}$	${\displaystyle (36^{n}-1)^{2}-2}$	1, 3, 10, 137, 154, 581, 1064, 4514, 6601, 19330, …
${\displaystyle 38}$	${\displaystyle (38^{n}-1)^{2}-2}$	1, 2, 13, 560, 28933, …
${\displaystyle 40}$	${\displaystyle (40^{n}-1)^{2}-2}$	4, 15, 39, 138, 2153, 4084, 5639, …
${\displaystyle 42}$	${\displaystyle (42^{n}-1)^{2}-2}$	3, 6, 14, 15, 29, 78, 195, 255, 272, 713, 2526, 4852, 10573, …
${\displaystyle 44}$	${\displaystyle (44^{n}-1)^{2}-2}$	1, 7, 30, 90, 1288, 1947, 12909, 25786, …
${\displaystyle 46}$	${\displaystyle (46^{n}-1)^{2}-2}$	12, 269, 1304, 5172, …
${\displaystyle 48}$	${\displaystyle (48^{n}-1)^{2}-2}$	1, 2, 4, 6, 12, 13, 3882, 6123, 15067, 15085, …
${\displaystyle 50}$	${\displaystyle (50^{n}-1)^{2}-2}$	1, 3, 4, 9, 31, 66, 115, 430, 1233, 2546, 2674, 6360, 53351, 69033, 69157, …

Die größte bekannte verallgemeinerte Carol-Primzahl ist ${\displaystyle (290^{124116}-1)^{2}-2}$ und hat ${\displaystyle 611246}$ Stellen.^[6] Sie wurde von Karsten Bonath am 1. März 2019 gefunden. Es ist die dritte Kynea-Primzahl mit dieser Basis.^[4]

Eine positive ganze Zahl der Form ${\displaystyle (2^{n}-1)^{3}+2}$ nennt man Noddy-Zahl (Noddy number).^[7]

Die kleinsten primen Noddy-Zahlen sind die folgenden:^[7]

0, 1, 2, 6, 10, 16, 48, 70, 1196, 3958, 57096, 59556, 62440, 70362, … (Folge A0100899 in OEIS)

• Kynea-Zahl

• Eric W. Weisstein: Near-Square Prime. In: MathWorld (englisch).
• Mark Rodenkirch, Gary Barnes, Karsten Bonath: Carol and Kynea Prime Search.
• Carol- und Kynea-Primzahlen

1. ↑ Cletus Emmanuel auf Prime Pages
2. ↑ Message to Yahoo primenumbers group von Cletus Emmanuel
3. ↑ (2⁶⁹⁵⁶³¹-1)²-2 auf The Lagest Known Primes!
4. ↑ ^{a b} Carol and Kynea Prime Search von Mark Rodenkirch, Gary Barnes und Karsten Bonath
5. ↑ Prime Wiki: Carol-Kynea table
6. ↑ (290¹²⁴¹¹⁶-1)²-2 auf The Lagest Known Primes!
7. ↑ ^{a b} Carol- und Kynea-Primzahlen