Youngova nerovnost

V matematice, Youngova nerovnost, pojmenovaná podle W. H. Younga, dává do vztahu součin dvou nezáporných čísel a součet jejich mocnin:

Jsou-li ${\displaystyle a,b\geq 0}$, ${\displaystyle p,q\in (1,\infty )}$, ${\displaystyle pq=p+q}$, pak

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}$ .

Důkaz

Pro ${\displaystyle a=0}$ nebo ${\displaystyle b=0}$ je důkaz triviální. Jinak z konkávnosti logaritmu (Jensenova nerovnost) dostáváme, že

${\displaystyle \ln \left({\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}\right)\geq {1 \over p}\ln(a^{p})+{1 \over q}\ln(b^{q})=\ln(ab)}$,

což bylo dokázat.

Související články

• Duální exponent