Prothovo číslo

Prothovo číslo je přirozené číslo, které je možné zapsat ve tvaru ${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$, kde ${\displaystyle k}$ je liché přirozené číslo menší než ${\displaystyle 2^{n}}$. Pokud se jedná o prvočíslo, nazývá se Prothovo prvočíslo.

Posloupnost Prothových čísel (v Online encyklopedii celočíselných posloupností posloupnost A080075^[1]) začíná

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, …

Posloupnost Prothových prvočísel (v Online encyklopedii celočíselných posloupností posloupnost A080076^[2]) začíná:

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153,…

Prothova čísla se jmenují podle amatérského francouzského matematika Françoise Protha, který dokázal, že jsou prvočísly právě tehdy, pokud existuje celé číslo ${\displaystyle a}$ takové, že

${\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv -1\mod {p},}$

tedy vlastnost, kterou je možné využít k testování jejich prvočíselnosti. Zmíněné tvrzení se nazývá Prothova věta.

Mezi speciální případy Prothových čísel patří Cullenova čísla a Fermatova čísla.

Reference