Lindelöfova pokrývací věta

Nechť ${\displaystyle (P,\rho )}$ je metrický prostor a ${\displaystyle M\subset P}$ separabilní množina. Existuje-li nespočetné pokrytí množiny M otevřenými množinami ${\displaystyle G_{\alpha }}$, pak z tohoto pokrytí lze vybrat spočetné podpokrytí.

Důkaz

Mějme tedy pokrytí ${\displaystyle M\subset \cup _{\alpha \in A}G_{\alpha }}$.

Ze separability M plyne existence spočetné množiny ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, která je hustá v M. Zavedu systém okolí:

${\displaystyle O:=\{U_{\frac {1}{m}}(x_{n})|m,n\in \mathbf {N} |\exists \alpha \in A:U_{\frac {1}{m}}(x_{n})\subset G_{\alpha }\}}$.

Zřejmě je množina O spočetná (protože je indexována přirozenými čísly). Dále O je pokrytím M, protože:

• Zvolím libovolné ${\displaystyle x\in M}$ a chci ukázat, že existují přirozená čísla n₀ a m₀ taková, že ${\displaystyle x\in U_{\frac {1}{m_{0}}}(x_{n_{0}})}$. Nejprve tedy najdu takové ${\displaystyle \alpha \in A}$, že ${\displaystyle x\in G_{\alpha }}$. Protože ${\displaystyle G_{\alpha }}$ je otevřená, vím, že existuje ${\displaystyle \epsilon >0}$ takové, že ${\displaystyle U_{\epsilon }(x)\subset G_{\alpha }}$. Najdu tedy m₀ takové, aby ${\displaystyle {\frac {2}{m_{0}}}<\epsilon }$.
• Dále vím, že ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ je hustá v M, tedy existuje n₀ přirozené takové, že ${\displaystyle x_{n_{0}}\in U_{\frac {1}{m_{0}}}(x)}$, tedy ${\displaystyle x\in U_{\frac {1}{m_{0}}}(x_{n_{0}})}$.
• Tohle okolí je ale zvolené tak, že pro něj platí ${\displaystyle U_{\frac {1}{m_{0}}}(x_{n_{0}})\subset U_{\epsilon }(x)\subset G_{\alpha }}$, a tedy platí ${\displaystyle U_{\frac {1}{m_{0}}}(x_{n_{0}})\in O}$.

Pro každé ${\displaystyle U_{\frac {1}{m}}(x_{n})\in O}$ najdu ${\displaystyle \alpha _{m,n}}$ tak, aby ${\displaystyle U_{\frac {1}{m}}(x_{n})\subset G_{\alpha }}$ a množinu těchto ${\displaystyle \alpha }$ označím B. Množina B je spočetná (protože je indexována přirozenými čísly), a platí

${\displaystyle \cup _{\alpha \in B}G_{\alpha }\supset M}$,

tedy mám spočetné pokrytí množiny M vybrané z nespočetného pokrytí.

Související články

• Borelova pokrývací věta
• Metrický prostor
• Pokrytí
• Separabilní prostor

Literatura

Tento článek potřebuje doplnit či upravit literaturu.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že na konec článku přidáte (resp. upravíte) kapitolu Literatura a uvedete vhodné knihy, ze kterých lze o daném tématu čerpat více informací. Knihy by měly být uváděny standardní formou citace.