Hustota elektrického proudu

Hustota elektrického proudu neboli proudová hustota je intenzivní (udává měrnou hodnotu) vektorová (má velikost a směr) fyzikální veličina popisující lokální rozložení elektrického proudu. Udává velikost proudu protékajícího v daném bodě prostoru jednotkovou plochou kolmou na směr pohybu kladného náboje a tento směr.

Definice

Proudová hustota

Značka: ${\displaystyle J}$

Jednotka SI: ampér na čtverečný metr, značka ${\displaystyle \mathrm {Am} ^{-2}}$

Hustota elektrického proudu je definována jako součin objemové hustoty ${\displaystyle \rho }$ elektrického náboje a rychlosti ${\displaystyle v}$ jeho nosiče v daném místě, tj.:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}=\rho \,{\boldsymbol {v}}}$,

její velikost je rovna podílu okamžitého elektrického proudu procházejícího daným elementem průřezu vodiče ${\displaystyle \mathrm {d} S_{\perp }}$ kolmého na střední směr ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ pohybu nosičů nábojů, které proud ${\displaystyle I}$ tvoří:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}={\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} S_{\perp }}}\,{\boldsymbol {n}}}$,

což lze v integrálním tvaru zapsat vztahem pro proud ${\displaystyle I}$ celým průřezem vodiče:

${\displaystyle I=\int _{S}{\boldsymbol {J}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}}$.

V případě, že je proud po průřezu vodiče rozložený rovnoměrně, lze tento vztah zjednodušit na skalární vztah:

${\displaystyle J={\frac {I}{S_{\perp }}}}$.

Délková proudová hustota

Značka: ${\displaystyle J_{S}}$

Jednotka SI: ampér na metr, značka ${\displaystyle \mathrm {Am} ^{-1}}$

Délková hustota elektrického proudu je definována jako součin plošné hustoty ${\displaystyle \sigma }$ elektrického náboje a rychlosti ${\displaystyle v}$ jeho nosiče v daném místě, tj.:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{S}=\sigma \ {\boldsymbol {v}}}$,

její velikost je rovna podílu okamžitého elektrického proudu procházejícího daným elementem délky vodiče ${\displaystyle \mathrm {d} l}$ ve středním směru ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ pohybu nosičů nábojů, které proud ${\displaystyle I}$ tvoří:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{S}={\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} l}}{\boldsymbol {n}}}$,

což lze v integrálním tvaru zapsat vztahem pro proud ${\displaystyle I}$ celým délkovým „průřezem“ vodiče:

${\displaystyle I=\int _{l}{\boldsymbol {J}}_{S}\cdot \mathrm {d} l}$.

Hustota plošného elektrického proudu vystupuje ve vztazích teorie elektromagnetického pole formulovaných v diferenciálním tvaru, které se týkají plošných vodičů nebo plošných rozhraní. Příkladem může být rovnice pro změnu vektoru intenzity magnetického pole na plošném rozhraní protékaném proudem o délkové hustotě ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{S}}$ (jednotkový vektor normály ${\displaystyle \mathbf {n} }$ směřuje z prostředí 2 do prostředí 1):

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\times \left({\boldsymbol {H}}_{1}-{\boldsymbol {H}}_{2}\right)={\boldsymbol {J}}_{S}}$.

Použití

Ve fyzice

Hustota elektrického proudu vystupuje ve vztazích teorie elektromagnetického pole formulovaných v diferenciálním tvaru. Příkladem mohou být

• rovnice kontinuity, tj. zákon zachování elektrického náboje v diferenciálním tvaru:

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {J}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$,

• Ohmův zákon v diferenciálním tvaru:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}=\sigma {\boldsymbol {E}}}$,

• první Maxwellova rovnice:

${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {J}}_{\mathrm {vol} }+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}}$.

V elektrotechnice

Lokální hustota tepelného výkonu (Joulova tepla) uvolňovaného při průchodu elektrického proudu daným prostředím je dána skalárním součinem intenzity elektrického pole ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ a hustoty elektrického proudu ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}}$ (${\displaystyle P}$ značí výkon, ${\displaystyle V}$ objem):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} V}}={\boldsymbol {J}}\cdot {\boldsymbol {E}}}$.

Uvolňované lokální teplo je tedy přímo úměrné hustotě elektrického proudu a ta je proto vhodnou charakteristikou pro limitaci, která zamezuje účinkům přílišného lokálního zahřátí vodiče. Aby se vodič příliš neohříval, neměla by být hustota při dlouhodobém zatěžování vyšší než cca 4 A/mm² (u mědi a hliníku).^[1][2]

Zobecnění

Jako u elektrického proudu lze rozdělit i hustotu na hustotu volného proudu a hustotu proudů vázaných (polarizačních a magnetizačních). Lze ji zobecnit i na případy, kdy nedochází k pohybu nositelů náboje, a definovat tzv. hustotu Maxwellova proudu:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{\mathrm {Max} }=\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}}$.

Reference

Literatura

• SEDLÁK, Bedřich; ŠTOLL, Ivan. Elektřina a magnetismus. 3. vyd. Praha: Karolinum, 2012. 595 s. ISBN 978-80-246-2198-2. 

Související články

• Elektrický proud
• Elektrický náboj
• Elektrický potenciál

Externí odkazy

• Maxwellův proud na WIKI Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy