Resurgència

En A.Hurwitz va plantejar, en el seu quadern, en data del 6 de desembre 1918, la pregunta de si era possible que una sèrie de potències

${\displaystyle h(\xi )=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(\xi -\xi _{0})^{k},}$

representant una funció diferent de ${\displaystyle \xi \mapsto ce^{\xi }}$, admetés continuació analítica al llarg d'un camí tancat ${\displaystyle \gamma }$ al voltant de ${\displaystyle \xi _{0}}$ i, a la fi de la continuació, prengués la forma

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}(\xi -\xi _{0})^{k-1}=h^{\prime }(\xi ),}$ és a dir, es pot continuar analíticament una funció holomorfa cap a la seva derivada?

La solució de Lewy

En H.Lewy va respondre afirmativament, i va donar una solució del problema que presentem aquí en una forma lleugerament modificada.^[1]

Es consideri la funció: ${\displaystyle h(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-zt-(\log t)^{2}/4\pi i\right]\,dt;}$ ${\displaystyle h}$ és holomorfa per ${\displaystyle \Re (z)>0}$ i pot ser continuada analíticament als semiplans ${\displaystyle \Re (ze^{-i\vartheta })>0\ (\vartheta \in \mathbb {R} ^{+})}$, de la manera següent: sigui ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle 0<\vartheta /N<\pi /2}$ i fem ${\displaystyle \eta :=\vartheta /N}$.

Escrivim, per a ${\displaystyle z\in \{\Re (ze^{-i\eta })>0\}\bigcup \{\Re (z)>0\}}$,

${\displaystyle h(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[ze^{-i\eta }e^{i\eta }t-{\frac {\log(e^{-i\eta }e^{i\eta }t)^{2}}{4\pi i}}\right]\,dt}$

${\displaystyle =\int _{e^{i\eta }\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du}$

${\displaystyle =\lim _{R\to \infty }\left\{\int _{0}^{R}\exp \left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du+\right.}$

${\displaystyle \ \qquad \left.+\int _{\gamma _{R}}\exp \left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du\right\}.}$

Aquesta darrera integral, que anomenem ${\displaystyle I_{2}}$, ha de ser calculada sobre la corba ${\displaystyle \gamma _{R}:[0,1]\rightarrow \mathbb {C} }$ definida en posar ${\displaystyle \gamma (t):=Re^{i\theta }}$.

Hom ha ${\displaystyle I_{2}\leq C_{1}R^{\alpha }e^{-C_{2}R}}$ per a unes constants reals positives ${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle {C_{2}}}$ i ${\displaystyle {\alpha }}$, car ${\displaystyle I_{2}}$ tendeix a ${\displaystyle 0}$ quan ${\displaystyle R\to \infty }$.

Així per a ${\displaystyle z\in \{\Re (ze^{-i\eta })>0\}\bigcap \{\Re (z)>0\}}$ hom ha ${\displaystyle h(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-ze^{-i\eta }u-{\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du;}$ però aquesta darrera integral convergeix en ${\displaystyle \Re (ze^{-i\eta })>0}$ i, doncs, hi defineix una continuació analítica de ${\displaystyle h}$. Repetim el procediment ${\displaystyle N}$ vegades: això ens dona finalment una continuació analítica de ${\displaystyle h}$ al semiplà ${\displaystyle \Re (ze^{-i\vartheta })>0}$; així doncs, ${\displaystyle h}$ pot ser continuada analíticament a tot punt ${\displaystyle p\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$.

Finalment, si fem la continuació analítica al llarg del camí ${\displaystyle \vert z\vert =1,0\leq \arg(z)\leq 2\pi }$, obtenim, designant ${\displaystyle {\hat {h}}}$ l'element de funció holomorfa obtingut (en un entorn de ${\displaystyle z=1}$) després una volta completa, ${\displaystyle {\hat {h}}(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-e^{2\pi i}zt-(\log t+2\pi i)^{2}/4\pi i\right]\,dt=}$

${\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-zt-\displaystyle {\frac {(\log t)^{2}-4\pi ^{2}+4\pi i\log t}{4\pi i}}\right]\,dt=}$

${\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[\displaystyle -zt-e^{2\pi i}t-(\log t)^{2}/4\pi i-\pi i+\log t\right]\,dt=}$

${\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{+}}(-t)\exp \left[-zt-(\log t)^{2}/4\pi i\right]\,dt=h^{\prime }(z).}$

Això acaba la presentació de la solució d'aquest problema.

Referències

Bibliografia

• Mitschi, Claude; Sauzin, David «Divergent Series, Summability and Resurgence I» (en anglès britànic). Lecture Notes in Mathematics, 2016. DOI: 10.1007/978-3-319-28736-2. ISSN: 0075-8434.

• Mariño, Marcos. Instantons and Large N: An Introduction to Non-Perturbative Methods in Quantum Field Theory. Cambridge: Cambridge University Press, 2015. ISBN 978-1-107-06852-0.