Representació decimal

Aquest article proporcional una definició matemàtica. Per a un article més accessible, vegeu Nombre decimal.

Una representació decimal d'un nombre real no negatiu r és una expressió en forma d'una sèrie, que tradicionalment s'escriu com la suma

r=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}

on a₀ és un enter no negatiu, i a₁, a₂, … són enters que satisfan 0 ≤ a_i ≤ 9, que hom anomena els dígits de la representació decimal. La successió de dígits pot ser finita, i en aquest cas els dígits posteriors a_i són 0. Alguns autors estan en contra de les representacions decimals amb una seqüència infinita de 9.^[1] Tot i aquesta restricció, encara existeix una representació decimal per a cada real no negatiu, i addicionalment fa que aquesta representació sigui única. El nombre que es defineix per una representació decimal s'acostuma a escriure:

r=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}\ldots

És a dir, a₀ és la part entera de r, no necessàriament entre 0 i 9, i a₁, a₂, a₃, … són els dígits que configuren la part fraccionària de r.

Totes dues notacions són, per definició, el següent límit:

r=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}

Aproximacions decimals finites

Tot nombre real es pot aproximar, amb un grau arbitrari de precisió, per nombres racionals amb representacions decimals finites.

Suposem que $x\geq 0$ . Llavors, per qualsevol enter $n\geq 1$ existeix un decimal finit $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\ldots a_{n}$ tal que:

r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.\,

Demostració
Sigui $r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}$ , on $p=\lfloor 10^{n}x\rfloor$ .^{[nota 1]} Llavors $p\leq 10^{n}x<p+1$ , i el resultat s'obté dividint les desigualtats per $10^{n}$ . (El fet que $r_{n}$ té una representació decimal finita és fàcil de comprovar.)

La representació decimal no és única

Alguns nombres reals tenen dues representacions decimals infinites. Per exemple, el nombre 1 es pot representar tant 1,000... com 0,999... (aquí, hem representat les seqüències infinites de 0 i de 9 per "...").

Representacións amb nombre finit de decimals

L'expansió decimal d'un nombre real no negatiu x finalitza smb zeros (o amb nous) si i només si x és un nombre racional amb denominador de la forma 2ⁿ5^m, on m i n són enters no negatius.

Demostració
Si l'expansió decimal de x finalitza amb zeros, o $x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}$ per algun n, llavors el denominador de x és de la forma 10ⁿ = 2ⁿ5ⁿ. Recíprocament, si el denominador de x és de la forma 2ⁿ5^m, llavors $x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}$ per a algun p. Com que x és de la forma $\textstyle {\frac {p}{10^{k}}}$ , llavors $p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}$ per algun n. Finalment, com que $x=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}$ , x finalitza amb zeros.

Demostració

Si l'expansió decimal de x finalitza amb zeros, o

x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}

per algun n, llavors el denominador de x és de la forma 10ⁿ = 2ⁿ5ⁿ.

Recíprocament, si el denominador de x és de la forma 2ⁿ5^m, llavors $x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}$ per a algun p. Com que x és de la forma $\textstyle {\frac {p}{10^{k}}}$ , llavors $p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}$ per algun n. Finalment, com que $x=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}$ , x finalitza amb zeros.

Representacions decimals periòdiques

Alguns nombres reals tenen representacions decimals on alguns (un o més) dígits es repeteixen:

¹/₃ = 0.33333...

¹/₇ = 0.142857142857...

¹³¹⁸/₁₈₅ = 7.1243243243...

Quan succeeix això, el nombre és un racional, és a dir, es pot representar pel quocient entre un enter i un enter positiu.

Curiositats

El nombre real representat per 0,1234567891011121314151617... té una representació decimal previsible i no periòdica. Aquest real és la constant de Champernowne, anomenada així pel matemàtic anglès que la va inventar el 1933. Aquest nombre és irracional, transcendent (demostrat per Kurt Mahler el 1961) i normal en base 10.
La constant de Copeland-Erdős 0,2357111317192329313741..., formada per la successió dels nombres primers, també és normal en base 10.
El nombre real representat per 0,110001000000000000000001..., és a dir, al suma de les potències factorials negatives de 10 (10⁻¹ + 10⁻² + 10⁻⁶ + ...+ 10^-k! + ...) té un desenvolupament decimal previsible i no periòdic. Aquest nombre és la constant de Liouville, que és irracional i transcendent.
Si hom escull a l'atzar, segons la distribució uniforme contínua, un nombre real entre 0 i 1, els dígits del seu desenvolupament decimal formen una seqüència de variables aleatòries independents sobre [0,9]. Aquest fet és la clau per la demostració del teorema del nombre normal de Borel. Arran d'aquesta demostració, Borel descobrí l'anomenat lema de Borel-Cantelli i demostrà la primera versió conegura de la llei forta dels grans nombres.

Notes

↑ $\lfloor x\rfloor$ representa la part entera de $x$ .

Referències

↑ Knuth, Donald E. «Volum 1, Fundamental algorithms». A: The art of computer programming. 3rd ed.. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1997, p. 21. ISBN 978-0201896831.

Bibliografia

Apostol, Tom M. Mathematical analysis.. 2d ed.. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1975. ISBN 978-0201002881.

Vegeu també

Nombre decimal
Sèrie (matemàtiques)
IEEE 754
Simon Stevin

Enllaços externs

Plouffe's inverter Arxivat 2005-08-12 a Wayback Machine. intenta verificar un nombre a partir de la seva representació decimal. Per exemple, si s'hi introdueix 3,14159265 informarà que probablement prové del nombre π.